北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.4）特征值与特征向量

§4特征值与特征向量 特征值与特征向量 特征值与特征向量的求法 特征子空间 四、特征多项式的有关性质

1 一 、 特征值与特征向量 二、 特征值与特征向量的求法 三、 特征子空间 四、 特征多项式的有关性质

引入 有限维线性空间中取定一组基后,V的任一线性 变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质, 希望这个矩阵越简单越好,如对角矩阵 从本节开始,我们主要讨论,如何选择一组适当 的基,使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 个对角矩阵?

2 从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵? 引入 有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质

、特征值与特征向量 定义:设σ是数域P上线性空间v的一个线性变换, 若对于P中的一个数41,存在一个V的非零向量, 使得 (9)=105 则称A1.的一个特征值,称5为σ的属于特征值 的特征向量

3 设  是数域P上线性空间V的一个线性变换， 则称 0为 的一个特征值，称  为  的属于特征值 0  ( )    , 一 、特征值与特征向量 定义： 若对于P中的一个数 存在一个V的非零向量  , 0  , 使得 的特征向量. 0

注 ①几何意义:特征向量经线性变换后方向保持 相同(41>0)或相反(40<0).A0=0时,a(5)=0 ②若ξ是σ的属于特征值A的特征向量,则 k5(k∈P,k≠0)也是σ的属于的特征向量 a(k)=ko(5)=k()=2(k5)) 由此知,特征向量不是被特征值所唯一确定的, 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的,即 若a(4)=45且σ()=p,则λ=

4 ① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持 由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，   0 0   (k )  k ( )  k(  )   (k ) 注： 相同 ( 0  0)或相反 0 (  0). 0   0 时 ,  ( )  0. ② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k  P,k  0) 也是 的属于 0 的特征向量. 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即 若  ( )   且  (  )   ，则   

二、特征值与特征向量的求法 分析:设dimV=n,E1,E2,…,n是V的一组基, 线性变换G在这组基下的矩阵为A 设是的特征值,它的一个特征向量5在基 01 61,62,…,En下的坐标记为氵 0 01 则a()在基61,2,…,En下的坐标为4 0

5 设 dimV  n,  1 , 2 , , n 是V的一组基， 线性变换  在这组基下的矩阵为A. 1 2 , , , n     下的坐标记为 01 0 , n x x        二、特征值与特征向量的求法 分析： 设 0是  的特征值，它的一个特征向量  在基 则 ( )在基 下的坐标为 01 0 , n x A x        1 , 2 ,, n 

而45的坐标是A0 又a(5)=g 0 01 于是A A:|,从而(λE-A) 0. 0 On 0 01 是线性方程组(E-4)X=0的解 0 又∵ξ≠0, ≠0 0

6 而0 的坐标是 01 0 0 , n x x         0 01 01 0 0 , n n x x A x x               于是   0 又  ( )    0 01 0 ( ) 0. n x E A x          从而  01 0 0, 0, n x x          又   即 是线性方程组 的解， 01 0n x x        0 ( E  A)X  0

从而(E-A)X=0有非零解 所以它的系数行列式风E-4=0 以上分析说明: 若是a的特征值,则AE-A=0 反之,若∈P满足AE-A=0, 则齐次线性方程组(A0E-A)X=0有非零解 若(x 019~02 ,xn)是(E-A)X=0一个非零解, 则向量5=xn61+…+xE,就是a的属于2的一个 特征向量

7 以上分析说明： 所以它的系数行列式 0  E  A  0. 从而 ( 0E  A )X  0 有非零解. 若 是 的特征值，则 0  E  A  0. 0  反之，若 0  P 满足 0 E  A  0, 则齐次线性方程组 ( 0E  A) X  0 有非零解. 若 ( x 01 , x0 2 , , x0 n )是 ( 0E  A) X  0 一个非零解， 特征向量. 则向量   x 01 1    x0 n  n 就是  的属于 0的一个

特征多项式的定义 设A∈P",λ是一个文字,矩阵AE-A称为 A的特征矩阵,它的行列式 无E-A n 称为A的特征多项式 (f4(4)是数域P上的一个n次多项式)

8 设 , 是一个文字，矩阵 称为 n n A P    E  A 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ( ) n n n n nn A a a a a a a E A a a a f                  称为A的特征多项式. 1. 特征多项式的定义 A的特征矩阵，它的行列式 （ f A ( )是数域P上的一个n次多项式）

注: ①若矩阵A是线性变换σ关于V的一组基的矩阵, 而是a的一个特征值,则是特征多项式fA() 的根,即fA(40)=0 反之,若是A的特征多项式的根,则λ就是 的一个特征值.(所以,特征值也称特征根.) ②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 而相应的线性方程组(E-A)X=0的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量

9 ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 注： ① 若矩阵A是线性变换  关于V的一组基的矩阵， 而 0是  的一个特征值，则 是特征多项式 ( ) A 0 f  的根，即 0 ( ) 0. A f   的一个特征值. 反之，若 0是A的特征多项式的根，则 0就是 （所以，特征值也称特征根.） 而相应的线性方程组 ( E  A )X  0 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量

2.求特征值与特征向量的一般步骤 i)在V中任取一组基E,E2En,写出σ在这组基下 的矩阵A i)求A的特征多项式E-A在P上的全部根,它们 就是σ的全部特征值 ⅲ)把所求得的特征值逐个代入方程组 (九E-A)X=0 并求出它的一组基础解系(它们就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量在基E,e2,…E下的坐标

10 i) 在V中任取一组基 1 , 2 ,, n ,写出 在这组基下 就是  的全部特征值. ii) 求A的特征多项式 E  A 在P上的全部根,它们 2. 求特征值与特征向量的一般步骤 的矩阵A . iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组 (E  A)X  0 的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.) 并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值 1 2 , , , n    