6子空间的安与颗 、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
1 一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
、子空间的交 1、定义 设Ⅴ1、Ⅴ2为线性空间Ⅴ的子空间,则集合 V∩v2={m|a∈V且a∈V2 也为ⅴ的子空间,称之为v1与V2的交空间 事实上,∵0∈H,0∈V2,∴0∈H1∩V2≠Q 任取a,B∈H1∩V2,即a,B∈V,且a,B∈V2, 则有a+B∈V1,a+B∈H2,∴a+B∈nV2 同时有kaeH,ka∈V2,∴ka∈V∩V2,Vk∈P 故V∩v2为ⅴ的子空间
2 也为V的子空间， 1 2 1 2 V V a a V a V = { | } 且 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 一 、子空间的交 1、定义 任取 1 2 1 2 , , , , , , V V V V 即 且 1 2 1 2 则有 + + + V V V V , , 同时有 1 2 1 2 k V k V k V V k P , , , 故 为V的子空间. V V 1 2 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0 V V V V 称之为V1与V2的交空间
显然有,V∩V2=V2∩V1, V∩H2nv3=∩(2nv3 2、推广—多个子空间的交 V1,J2,…,V为线性空间的子空间,则集合 vnv2n…∩v=∩v={(|a∈v1=,2,3,…,s i=1 也为V的子空间,称为V1,2…,V的交空间
3 显然有, 2、推广 多个子空间的交 1 2 1 | , 1,2,3, , s s i i i V V V V V i s = = = = 1 2 2 1 V V V V = , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V = 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的交空间
二、子空间的和 1、定义 设Ⅴ1、Ⅴ2为线性空间Ⅴ的子空间,则集合 +V2={a1+a2|a1∈H1,a2∈V2} 也为Ⅴ的子空间,称之为Ⅴ1与V2的和空间 事实上,0∈V,0∈V2,∴0=0+0∈V+V2≠ 任取a,B∈V1+V2,设a=a1+a2,B=B1+B2, 其中,a1,B1∈H1,a2,B2∈V2,则有 a+B=(a1+a2)+(1+B2) =(a1+B1)+(a2+A2)∈V1+V2 ka=k(a1+a2)=ka1+ka2∈H1+V2,Vk∈P
4 二、子空间的和 1、定义 其中， 1 1 1 2 2 2 , , , , V V 则有 1 2 1 2 1 2 k k k k V V k P = + = + + ( ) , 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间， 1 2 1 2 1 1 2 2 V V a a a V a V + = + { | , } 称之为V1与V2的和空间. 1 2 1 2 + = + + + ( ) ( ) 任取 , , + V V 1 2 设 1 2 1 2 = + = + , , 1 1 2 2 1 2 = + + + + ( ) ( ) V V 1 2 1 2 事实上， 0 ,0 , 0 0 0 = + + V V V V
显然有,V1+V2=V2+V1, 1+2)+V3=V1+(2+V3) 2、推广—多个子空间的和 V1,H2,…,V为线性空间ⅴ的子空间,则集合 ∑V=V1+V2+…+V {a1+a2+…+a,|ar∈V,i=1,2,3,…,s 也为V的子空间,称为V1,V2,…,V的和空间
5 显然有, 2、推广 多个子空间的和 = + + + = 1 2 s i i | , 1,2,3, , V i s 1 2 2 1 V V V V + = + , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V + + = + + 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的和空间. 1 2 1 s i s i V V V V = = + + +
注意: V的两子空间的并集未必为Ⅴ的子空间.例如 1={(a,0,0)a∈R,V2={(0,b,0)b∈R 皆为R3的子空间,但是它们的并集 v1∪V2={a,0,0)(0,b,0),b∈R ={(a,b,0)a,b∈R且a,b至少有一是0 并不是R3的子空间.因为它对R3的运算不封闭,如 (1,0,0),(0,1,0)∈VUV2 但是(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)≠V1Uv2
6 V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 注意： 1 2 V a a R V b b R = = {( ,0,0) }, {(0, ,0) } 皆为R3的子空间，但是它们的并集 1 2 V V a b a b R = {( ,0,0),(0, ,0) , } 并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 1 2 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) + = V V 1 2 (1,0,0), (0,1,0)V V 但是 = {( , ,0) , , } a b a b R a b 且 中至少有一是0
三、子空间的交与和的有关性质 1、设V1,V2,W为线性空间的子空间 1)若WcV1,W∈V2,则W∈V∩v2 2)若V∈W,V2cW,则V+V2≤W 2、设V1,V2为线性空间V的子空间,则以下三 条件等价: 1)Vice 2)V∩v2=V 3)V1+V,=
7 三、子空间的交与和的有关性质 1 2 1 2) V V V= 1 2 2 3) V V V + = 1 2 1) V V 2、设 V V1 2 , 为线性空间V的子空间，则以下三 1、设 V V W 1 2 , , 为线性空间V的子空间 1）若 W V W V 1 2 , , 则 1 2 W V V . 2）若 则 1 2 V V W + . 1 2 V W V W , , 条件等价:
3、a1,a2…,a,;,A2,…,B为线性空间ⅴ中两组 向量,则 L(a1,a2,…,C)+L(1,B2…,B1) =D(a1,a2,…,a3,B1,B2…,B) 4、维数公式(定理7) 设V1,2为线性空间的两个子空间,则 dimI+dimV2=dim(V+V2)+dim(inv2) 或dim(1+V2)=dimV1+dimV2-dim(1∩v2)
8 1 2 1 2, ( , , , ) ( , , ) L L s t + 1 2 1 2, ( , , , , , , ) = L s t 3、 1 2 1 2, , , , ; , , s t 为线性空间V中两组 向量，则 4、维数公式（定理7） 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，则 dim dim dim( ) dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + + 或 dim( ) dim dim dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + −
注:从维数公式中可以看到,子空间的和的维数 往往比子空间的维数的和要小. 例如,在R3中,设子空间 H=L(E1,E2),2=L(E2,E3) 其中,61=(1,0,0),62=(0,1,0),63=(0,0,1) 则,dimV1=2,dimV2=2 但,V+V2=L(61,62)+L(62,63)=L(61E2,63)=R dim(V1+2)=3 由此还可得到,dim(V∩v2)=1,V∩V2是一直线
9 注： 从维数公式中可以看到，子空间的和的维数 往往比子空间的维数的和要小. 例如，在R3中，设子空间 dim( ) 3 V V 1 2 + = 1 1 2 2 2 3 V L V L = = ( , ), ( , ) 1 2 3 其中， === (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 3 1 2 1 2 2 3 1 2 3 但， V V L L L R + = + = = ( , ) ( , ) ( , , ) 则， dim 2, dim 2 V V 1 2 = = 由此还可得到， dim( ) 1, V V 1 2 = V V 1 2 是一直线
推论:设V,V2为m维线性空间v的两个子空间, 若dimV1+dim2>n,则,V2必含非零的公共 向量.即V∩V2中必含有非零向量 证:由维数公式有 dim(inv2)=dimi+dimv2-dim(V1+v2) 又V+V2是的子空间,∴dim(V1+V2)≤n 若dmV+dimV2>m,则dim(V∩V2)>0 故V∩v2中含有非零向量
10 推论：设 V V1 2 , 为n维线性空间V的两个子空间， dim( ) dim dim dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 = + − + 若 dim dim V V n 1 2 + ，则 V V1 2 , 必含非零的公共 向量. 即 中必含有非零向量. V V 1 2 证：由维数公式有 又 V V 1 2 + 是V的子空间，∴ dim( ) V V n 1 2 + 若 dim dim , V V n 1 2 + 则 dim( ) 0. V V 1 2 故 中含有非零向量. V V 1 2