§2一矩阵的标准形 A一矩阵的初等变换 A一矩阵的初等矩阵 三、等价入一矩阵 四、A一矩阵的对角化
一、 λ－矩阵的初等变换 三、 等价λ－矩阵 二、 λ－矩阵的初等矩阵 四、 λ－矩阵的对角化
、入一矩阵的初等变换 定义: 入一矩阵的初等变换是指下面三种变换: ①矩阵两行(列)互换位置; ②矩阵的某一行(列)乘以非零常数c; ③矩阵的某一行(列)加另一行(列)的φ(九)倍, q()是一个多项式
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数c； ( ) 是一个多项式. ③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 ( ) 倍， 一、λ－矩阵的初等变换 定义：
注 为了书写的方便,我们采用以下记号 i,j代表i,两行(列)互换; i(c代表第i行乘以非零数c; i+j(φ()代表把第j行(列)的φ(λ)倍加到第i 行(列)
[ ( )] i c 代表第 i 行乘以非零数c ； [ ( ( ))] i j + 代表把第 j 行(列)的 ( ) 倍加到第 i 为了书写的方便，我们采用以下记号 [ , ] i j 代表 i j , 两行(列)互换； 注： 行(列)
二、入一矩阵的初等矩阵 定义: 将单位矩阵进行一次元一矩阵的初等变换所得的 矩阵称为λ一矩阵的初等矩阵 注:①全部初等矩阵有三类: i P(i,j= 10 行
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的 矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵. 二、λ－矩阵的初等矩阵 定义： 注：① 全部初等矩阵有三类： i行 j行 1 1 0 1 1 0 1 1 P i j ( , ) =
p(i(c)= C i行 q(1) 行 p(i,八(q())= 府
1 1 ( ) ( , ( ( ))) 1 1 p i j = i行 j行 1 1 ( ( )) 1 1 p i c c = i行
②初等矩阵皆可逆 Pli,j=p(i,j) p(i(c))=pli(n) p(i,j(q(4)=p(i,j(-9(1)) 对一个Xn的一矩阵4(4)作一次初等行变换 就相当于在A(4)在的左边乘上相应的sxS的初等矩 阵;对A()作一次初等列变换就相当于在A(4)的右 边乘上相应的n×n的初等矩阵
② 初等矩阵皆可逆. 1 p i j p i j ( , ) ( , ) − = 1 1 ( ( )) ( ( )) c p i c p i − = 1 p i j p i j ( , ( ( ))) ( , ( ( ))) − = − ③ 对一个 s n 的 ―矩阵 A( ) 作一次初等行变换 就相当于在 A( ) 在的左边乘上相应的 s s 的初等矩 阵；对 A( ) 作一次初等列变换就相当于在 A( ) 的右 边乘上相应的 n n 的初等矩阵
、等价入一矩阵 定义:几一矩阵A(4)若能经过一系列初等变换化 为λ一矩阵B(λ),则称A()与B()等价 性质: 1)λ一矩阵的等价关系具有: 反身性:A()与自身等价 对称性:A()与B()等价→B(礼)与A()等价 传递性:A()与B()等价,B(x)与C(孔)等价 →A()与C()等价
为 －矩阵 B( ) ，则称 A( ) 与 B( ) 等价. ―矩阵 A( ) 若能经过一系列初等变换化 1) ―矩阵的等价关系具有: 反身性: A( ) 与自身等价. 对称性: A( ) 与 B( ) 等价 B( ) 与 A( ) 等价. 传递性: A( ) 与 B( ) 等价, B( ) 与 C( ) 等价 A( ) 与C( ) 等价. 三、等价λ－矩阵 定义： 性质：
2)A(礼)与B()等价分存在一系列初等矩阵 Q1…Q使A(4)=B…PSB(4)Q1…Q 四、入一矩阵的对角化 1.(引理)设λ一矩阵A)的左上角元素1()≠0, 且A(λ)中至少有一个元素不能被它整除,那么一定 可以找到一个与A()等价的矩阵B(礼),它的左上 角元素b1(4)≠0,且(b1(巩)<(a1()
2) A( ) 与 B( ) 等价 存在一系列初等矩阵 1 1 , P P Q Q S t 使 1 1 ( ) ( ) . A P P B Q Q = S t 1.（引理）设 ―矩阵 A( ) 的左上角元素 11 a ( ) 0, 且 A( ) 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定 可以找到一个与 A( ) 等价的矩阵 B( ) ，它的左上 角元素 b11( ) 0 ，且 ( ( )) ( ( )) b a 11 11 . 四、λ－矩阵的对角化
证:根据A(4)中不能被a1(4)除尽的元素所在的 位置,分三种情形来讨论: i若在A(4)的第一列中有一个元素an(4)不能被 a1(x)除尽,则有1(1)=a1(4)q(x)+r(, 其中余式r(4)≠0,且O(r(x)<O(a1(1) 对A(孔)作下列初等行变换 1(x)… a1(x) AO=am(x)… [i-1q) ●鲁
证：根据 A( ) 中不能被 a11( ) 除尽的元素所在的 位置，分三种情形来讨论: i) 若在 A( ) 的第一列中有一个元素 ai1 ( ) 不能被 11 a ( ) 除尽， 其中余式 r( ) 0 ，且 (r x a ( ) ( ) ) ( 11 ) 对 A( ) 作下列初等行变换: 11 11 1 ( ) ( ) ( ) [ 1( )] ( ) ( ) i a a A i q a r = − 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ), i 则有 a a q r = +
r(n) 1,i 1(x) B(4) B()的左上角元素r(4)符合引理的要求, 故B()为所求的矩阵 i)在4(4)的第一行中有一个元素an()不能被a1(4) 除尽,这种情况的证明i)与类似 i)A(4)的第一行与第一列中的元素都可以被n1() 除尽,但A(4)中有另一个元素a(4)(i>1,j>1)
[1, ] 11 ( ) ( ). ( ) i r B a ⎯⎯→ = B( ) 的左上角元素 r( ) 符合引理的要求， 故 B( ) 为所求的矩阵. ii) 在 A( ) 的第一行中有一个元素 a1i ( ) 不能被 11 a ( ) 除尽，这种情况的证明i)与类似. iii) A( ) 的第一行与第一列中的元素都可以被 11 a ( ) 除尽，但 A( ) 中有另一个元素 ( ) ( 1, 1) ij a i j
