北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.6）线性变换的值域与核

§6线性变换的值域与核 值域与核的概念 二、值域与核的有关性质

1 一、 值域与核的概念 二、 值域与核的有关性质

、值域与核的概念 定义1:设G是线性空间V的一个线性变换, 集合(V)={o(a)|a∈吟 称为线性变换σ的值域,也记作Imo,或V 集合a(0)={a|a∈V,o(a)=0 称为线性变换σ的核,也记作kero 注:σ(W),a(0皆为Ⅴ的子空间

2 一、值域与核的概念 定义1：设  是线性空间V的一个线性变换， 集合     ( ) ( ) | V V =    称为线性变换  的值域，也记作 Im , .   或 V 集合   1      (0) | , ( ) 0 V − =  = 称为线性变换  的核，也记作 ker .  注： 皆为V的子空间. 1   ( ), (0) V −

事实上,()cV,(V)≠⑧,且对 Vo(a),G()∈c(),Vk∈P 有(a)+o(6)=a(a+B)∈G( ko(a)=o(ka)∈o() 即σ()对于V的加法与数量乘法封闭 ()为V的子空间 再看σ(0).首先,a(0)V,o(0)=0

3 事实上，   ( ) , ( ) , V V V    且对          ( ), ( ) ( ), V k P 有         ( ) ( ) ( ) ( ) + = +  V k k V      ( ) ( ) ( ) =  即  ( ) V 对于V的加法与数量乘法封闭.  ( ) V 为V的子空间. 再看 1  (0). − 1   (0) , (0) 0, V − 首先，  =

0∈a-1(0),σ-(0)≠Q 又对∨a,B∈σ-(0,有G(a)=0,G(B)=0从而 σ(a+B)=(a)+()=0 o(ka =ko(a=k0=0, VkEP 即a+B∈a-(0),ka∈a(0) -(0)对于V的加法与数量乘法封闭 故a-(0)为ⅴ的子空间

4 又对 有 从而 1    , (0), −       ( ) 0, ( ) 0 = =        ( ) ( ) ( ) 0. + = + =     ( ) ( ) 0 0, k k k k P = = =   即 1 1      (0), (0), k − − +   故 为V的子空间. 1  (0) − 1 1 0 (0), (0) .   − −     1  (0) −  对于V的加法与数量乘法封闭

定义2:线性变换a的值域a()的维数称为的秩 a的核(0)的维数称为o的零度 例1、在线性空间Pxln中,令 D(f(x))=f(x) 则D(Pxl)=Pxl D(0)=P 所以D的秩为n-1,D的零度为1

5 定义2：线性变换  的值域  ( ) V 的维数称为  的秩； 的核 的维数称为 的零度. 1  (0) −   例1、在线性空间 P x[ ]n 中，令 则 ( ) 1 [ ] [ ] , D P x P x n n = − 1 D P (0) − = 所以D的秩为n－1，D的零度为1. D( f (x)) = f '(x)

二、有关性质 1.(定理10)设a是m维线性空间V的线性变换, e12,“,6n是V的一组基,在这组基下的矩阵是A, 则 1)G的值域σ(V)是由基象组生成的子空间,即 a(V)=L(G(1o(a2)…,o() 2)σ的秩=A的秩

6 1. (定理10) 设  是n维线性空间V的线性变换，    1 2 , , , n 是V的一组基，  在这组基下的矩阵是A， 则 1）  的值域  ( ) V 是由基象组生成的子空间，即        ( ) ( ), ( ), , ( ) V L = ( 1 2 n ) 2）  的秩＝A的秩. 二、有关性质

证:1)∈V,设5=x161+x262+…+xnn, 于是σ(9)=x(E1)+x2O(E2)+…+xnO(En) ∈L(a(G),a(a2),…(n Delo(E), 又对Wxσ(61)+x2(E2)+…+xn(En) 有xO(61)+x2O(E2)+…+xnO(En) (x11+x2E2+…+xnEn)∈o(V)

7  L(      ( ), ( ), , ( ) 1 2 n ) 即        ( ) ( ), ( ), , ( ) V L  ( 1 2 n ) 又对 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n  + + + x x x       1 1 2 2 ( ... ) ( ) n n = + + +       x x x V 证： 1 ）   V , 设 1 1 2 2 , n n     = + + + x x x 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n 于是         = + + + x x x 有 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n x x x       + + +

L(G(61,o(a2)…,o(a,)so( 因此,a()=L(G(G1)(a2)…,(n 2)由1),a的秩等于基象组o(41),o(E2)…O(En) 的秩,又 (a(G,a(a2)…,o(En)=(1,62,…,En)A. 由第六章§5的结论3知,(E1),(62),(En)的秩 等于矩阵A的秩 秩(σ)=秩(A)

8   L V (       ( ), ( ), , ( ) ( ). 1 2 n ) 因此，        ( ) ( ), ( ), , ( ) . V L = ( 1 2 n ) 的秩，又 (         ( ), ( ), , ( ) ( , , , ) . 1 2 1 2 , n n ) = A ∴ 秩 ( )  ＝秩 ( ). A 等于矩阵A的秩. 2）由1），  的秩等于基象组 1 2 ( ), ( ), , ( )       n 由第六章§5的结论3知，       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 的秩

2.设a为n维线性空间Ⅴ的线性变换,则 σ的秩+a的零度=n 即dmo()+dima(0)=n. 证明:设的零度等于r,在核a(0)中取一组基 19c295 并把它扩充为V的一组基:61,E2……,Er,…,En 由定理10,o()是由基象组o(E1),(E2),(GEn 生成的

9 2. 设  为n维线性空间V的线性变换，则  的秩＋  的零度＝n 即 1 dim ( ) dim (0) .   V n − + = 证明：设  的零度等于r ，在核 中取一组基 1  (0) − 1 2 , , , r    并把它扩充为V的一组基： 1 2 , , , , , r n     生成的. 由定理10，  ( ) V 是由基象组 1 2 ( ), ( ), , ( )       n

但σ(E)=0,i=1,2,…, o(V)=L(o(6r+1),…o( 下证o(6r+),…,o(En)为o(V)的一组基,即证它们 线性无关 设k+o(6n+1)+…+knO(En)=0 则有(k+m1+…+k,an)=0 5=k+1bFm+…+knEn∈a(0) 卵可被61,2,…,线性表出

10 但 ( ) 0, 1,2, , . i   = =i r  =      ( ) ( ), , ( ) V L( r n +1 ) 设 1 1 ( ) ( ) 0 r r n n k k     + + + + = 则有 ( 1 1 ) 0 r r n n    k k + + + + = 1 1 1 (0) r r n n     k k −  = + +  + + 下证     ( ), , ( ) r n +1 为  ( ) V 的一组基，即证它们 即  可被 1 2 线性表出. , , , r    线性无关