北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第八章 λ矩阵（8.6）若当标准形的理论推导

86若当标准形的理论推导

一、若当块的初等因子 二、若当形矩阵的初等因子 三、若当标准形存在定理

、若当块的初等因子 00 x…00 若当块J 0…x0 00 1o nXn 的初等因子是(-4)

若当块 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 n n J          =         的初等因子是 ( 0 ) . n   − 一、若当块的初等因子

证: 0 E-J0= λ1.00 0 13-x nXn AE-J=(-4)" 此即况E-J的级行列式因子 又花E-J有一个n-1级子式是

证： 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 n n E J             −   − − − =     −   − −   0 0 ( ) . n    E J − = − 此即 的 级行列式因子. E J − 0 n 又 E J − 0 有一个 n − 1 级子式是

1几 00 00 0.00 1…00 n- 12-40 所以AE一J的n-1级行列式因子为1 从而,九E-J0的n-2,…,2,1级行列式因子皆为1 的不变因子是: d1(x)=…=dn1(4)=1,an(4)=(-) 故J的初等因子是:(-A)

( ) 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 n     − − − − = − − − − 所以 的 级行列式因子为1. E J − 0 n − 1 从而， 的 级行列式因子皆为1. E J − 0 n − 2, ,2,1 0  J 的不变因子是: 1 1 0 ( ) ( ) 1, . ( ) ( ) n n n d d d      = = = = − − 故 的初等因子是: 0 J ( 0 ) . n   −

二、若当形矩阵的初等因子 若当形矩阵J 2 00 00 其中J= 00 0…x10 0 k: xk 则J的全部初等因子是: (A-41),(2-2),…,(4-4,)

若当形矩阵 1 2 , s J J J J     =       其中 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 i i i i i i i k k J          =         则J的全部初等因子是： 1 2 1 2 ( ) , ( ) , , ( ) .s k k k       − − − s 二、若当形矩阵的初等因子

证:∵J1的初等因子是(4-1),i=12,…S E-J1与矩阵 等价. 2-2 E 于是九E-J= ZE-J 2E-J

证： 的初等因子是 ( ) , 1,2, , i k i   − =i s i J  − E Ji 与矩阵 等价. ( ) 1 1 1 i k  i               −   于是 1 2 s E J E J E J E J       −   − − =     −  

与矩阵 (孔-x D(4)= (孔-12) -见 等价.由定理9,J的全部初等因子是: (a-41),(2-2),…,(2-4,)

与矩阵 D( ) = ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 s k k k s           − − −   等价. 由定理9， J 的全部初等因子是： 1 2 1 2 ( ) , ( ) , , ( ) .s k k k       − − − s

可见,每个若当形矩阵的全部初等因子就是它 的全部若当块的初等因子构成的。由于每个若当块 完全被它的级数与主对角线上的元素A所刻划, 而这两个数都反应在它的初等因子(- 因此,若当块被它的初等因子唯一决定 从而,若当形矩阵除去其中若当块的排序外被它的 初等因子唯一确定

初等因子唯一确定. 完全被它的级数与主对角线上的元素 0 所刻划， 而这两个数都反应在它的初等因子 上. 0 ( )n   − 可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它 的全部若当块的初等因子构成的. 由于每个若当块 因此，若当块被它的初等因子唯一决定. 从而，若当形矩阵除去其中若当块的排序外被它的

三、若当标准形存在定理 (定理10)每一个复矩阵A都与一个若当形矩阵 相似,且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是 被矩阵A唯一决定的,它称为A的若当标准形

（定理10）每一个复矩阵A都与一个若当形矩阵 相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是 被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形. 三、若当标准形存在定理 1

证:若n级复矩阵A的全部初等因子为: (λ-41),(λ-2)2,…,(λ-,) (其中A1,12,…,可能有相同的,指数k1,k2,…,k 也可能相同的) 每一个初等因子(元-1)对应于一个若当块 00.元 00.0 00 00

证：若n级复矩阵A的全部初等因子为: （*） 1 2 1 2 ( ) , ( ) , , ( ) .s k k k       − − − s （其中    1 2 , , , s 可能有相同的，指数 1 2 , , , s k k k 也可能相同的）. 每一个初等因子 ( ) i 对应于一个若当块 k   − i 0 0 0 1 0 0 , 1,2, , 0 0 0 0 0 1 i i i i i J i s         = =        