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二、合同的变换法 一、二次型的标准形 三、小结
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型 d1x12+d2x2+…+ 它的矩阵是对角阵 ng,…,dn)=04 0 000d 水任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成 平方和的形式?若能,如何作非退化线性替换? §2标准形
§2 标准形 二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型 它的矩阵是对角阵 平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？ ? 任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成 2 2 2 1 1 2 2 n n d x d x d x + + + 1 2 1 2 0 0 0 0 ( , , , ) 0 0 0 n n d d diag d d d d =
、二次型的标准形 1、(定理1)数域P上任一二次型都可经 过非退化线性替换化成平方和的形式 证明:略(书P210) §2标准形
§2 标准形 证明： 略.(书P210) 一、二次型的标准形 过非退化线性替换化成平方和的形式. 1、（定理1）数域P上任一二次型都可经
2、二次型的标准形的定义 二次型∫(x1,x2…,xn)经过非退化线性替换 所变成的平方和形式 y+d2y2+…+tnyn 称为∫(x1,x2…,xn)的一个标准形 注:1)由定理一二次型的标准形是存在的 2)可应用配方法得到二次型的标准形 §2标准形
§2 标准形 2、二次型的标准形的定义 所变成的平方和形式 注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的. 2）可应用配方法得到二次型的标准形. 2 2 2 1 1 2 2 n n d y d y d y + + + 二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 经过非退化线性替换 称为 的一个标准形. 1 2 ( , , , ) n f x x x
例1、求f(x1,x2,x3)=2x1x2-6x2x3+2x1x3的标准形 解:作非退化线性替换 x1=y1+y2 2=y1-y 则f(x1,x2,…,xn=2(V1+y2)(y1-y2)-6(y1-y2)y3 +2(y1+y2)y3 2y12-2y2-4y1y3+8y2y3 n1-y)2-2y2-2y2+8 §2标准形
§2 标准形 则 解：作非退化线性替换 222 1 3 3 2 2 3 = − − − + 2( ) 2 2 8 y y y y y y 2 2 1 2 1 3 2 3 = − − + 2 2 4 8 y y y y y y 1 2 3 + + 2( ) y y y 1 2 1 2 1 2 1 2 3 ( , , , ) 2( )( ) 6( ) n f x x x y y y y y y y = + − − − 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y x y x y = − 即, 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y = + = − = 例1、求 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ( , , ) 2 6 2 = − + 的标准形
x1=y1-y3 十 再令 或了y2 x3=y3 y3=3 VI 即,y2 100 则f(x1,x2,,xn)=2x2-2x2-2x32+823 =222k2a)2+8 2 2x2-2(x2-2z3)2+6z 最后令w2=2-23或{2=w2+23 §2标准形
§2 标准形 2 2 2 1 2 3 3 = − − + 2 2( 2 ) 6 z z z z 2 2 2 2 1 2 3 3 3 = − − + − 2 2( 2 ) 8 2 z z z z z 或 1 1 2 2 3 3 3 2 z w z w w z w = = + = 最后令 1 1 2 2 3 3 3 2 w z w z z w z = = − = 则 222 1 2 1 2 3 2 3 ( , , , ) 2 2 2 8 n f x x x z z z z z = − − + 1 1 2 2 3 3 1 0 1 0 1 0 0 0 1 y z y z y z = 即, 或 1 1 3 2 2 3 3 y z z y z y z = + = = 再令 1 1 3 2 2 3 3 z y y z y z y = − = =
则f(x,x2,x3)=2M2-22+62 所作的非退化线性替换是 10Y101 1-10‖y2 10‖010‖z2, 110/101Y100(w1)(113 1-101010‖012 1-1‖w 00 001八001 001 x1=1+v2+33 即 §2标准形
§2 标准形 所作的非退化线性替换是 即 1 1 2 3 2 1 2 3 3 3 x w w w3 x w w w x w = + + = − − = 1 2 3 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 w w w = − 1 2 3 1 1 3 1 1 1 0 0 1 w w w = − − 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 x y z x y z x y z = − = − 222 1 2 3 1 2 3 则 f x x x w w w ( , , ) 2 2 6 = − +
3、(定理2)数域P上任一对称矩阵合同于 一个对角矩阵 即ⅤA∈P,若A=A,则存在可逆矩阵C∈Pn 使CAC为对角矩阵 证:由定理1可得 §2标准形
§2 标准形 3、（定理2）数域P上任一对称矩阵合同于 证：由定理1可得. 使C´AC为对角矩阵． 即 A Pn n , 若 A´ ＝A ，则存在可逆矩阵 n n C P 一个对角矩阵
二、合同的变换法 1.定义:合同变换是指下列三种变换 (1)互换矩阵的两行,再互换矩阵的i两列; (2)以数k(k≠0)乘矩阵的第i行;再以数k乘 矩阵的第i列 (3)将矩阵的第许的k倍加到第/行,再将第i列 的k倍加到第/列(≠八) §2标准形
§2 标准形 二、合同的变换法 （1）互换矩阵的 i j , 两行，再互换矩阵的 i j , 两列; 1. 定义：合同变换是指下列三种变换 i （2）以数 k（ k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘 i （3）将矩阵的第i行的k倍加到第 j 行，再将第 i 列 的k倍加到第 j 列（ ). i j 矩阵的第 i 列
2.合同变换法化二次型为标准形 基本原理: 设对称矩阵A与对角矩阵D合同,则存在可逆矩阵 C,使D=C′AC 若C=QQ2…Q,Q1为初等阵,则 CAC=…Q24QQ2…Q Q(…(Q2(QAQQ2)…)Q X, p(i,y=p(i,j, p(i(k)=p(i(k)), P(i,j(k=pu,i(k)) §2标准形
§2 标准形 2. 合同变换法化二次型为标准形 又， 设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵 基本原理： C, 使Ｄ＝Ｃ´ＡＣ. p i j p i j p i k p i k ( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )), = = C AC Q Q Q AQ Q Q s 2 1 1 2 s = Q Q Q AQ Q Q s 2 1 1 2 s = （ （ （ ） ） ） 若 C Q Q Q Q = 1 2 s i , 为初等阵，则 p i j k p j i k ( , ( )) ( , ( )) =