线性空间的定义与简单性质 、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质
1 一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质
引例1 在第三章§2中,我们讨论了数域P上的n维向量 空间P,定义了两个向量的加法和数量乘法: (a1,2,…,an)+(b,b2…,bn)=(1+b1,a2+b2,…,an+bn) k(a1,.2,…,an)=(kn1,ka2…,kun),k∈P 而且这两种运算满足一些重要的规律,如 a+B=B+a la=a (a+B)+r=a+(B+r) k(la)=(kl )a a+0=c (k+Da=ka+la a+(-a)=0 k(a+B)=ka+kB Va,B,y∈P",Vk,l∈P
2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n a a a b b b a b a b a b + = + + + 1 2 1 2 ( , , , , ) ( , , ), n n k a a a ka = ka ka k P 而且这两种运算满足一些重要的规律,如 引例1 空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： + = + 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量 + = 0 ( ) ( ) + + = + + + − = ( ) 0 1 = k l kl ( ) ( ) = ( ) k l k l + = + k k k ( ) + = + , , , , n P k l P
引例2 数域P上的一元多顶式环Px中,定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法,而且这两种运算 同样满足上述这些重要的规律,即 f(r+g(x=g(r)+f(x) (∫(x)+g(x)+h(x)=∫(x)+(g(x)+h(x)) f(x)+0=∫(x) f(x)+(-∫(x)=0 f(x)g(x),h(x)∈P[x], If()=f(r) Vvk,l∈P k()f(x)=(k)f(x) (k +Df(r)=kf(x)+f(x) kof(r+g()=kf(x)+hg()
3 同样满足上述这些重要的规律，即 ( ), ( ), ( ) [ ], , f x g x h x P x k l P f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) + = + 引例2 数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x + + = + + k l f x kl f x ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) f x f x = f x f x ( ) ( ( )) 0 + − = f x f x ( ) 0 ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) k l f x kf x lf x + = + k f x g x kf x kg x ( ( ) ( )) ( ) ( ) + = +
线性空间的定义 设V是一个非空集合,P是一个数域,在集合p中 定义了一种代数运算,叫做加法:即对Va,B∈V 在V中都存在唯一的一个元素与它们对应,称?为 a与B的和,记为y=a+;在P与的元素之间还 定义了一种运算,叫做数量乘法:即a∈V,vk∈P 在V中都存在唯一的一个元素6与它们对应,称6为 k与a的数量乘积,记为δ=ka.如果加法和数量乘 法还满足下述规则,则称V为数域P上的线性空间:
4 一 .线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为 与 的和，记为 = + ；在P与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V k P , , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为 k与 的数量乘积，记为 = k . 如果加法和数量乘 法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
加法满足下列四条规则:Va,B,y∈ ①a+B=B+a ②(a+B)+y=a+(B+y) ③在V中有一个元素0,对a∈V,有a+0=a (具有这个性质的元素0称为的零元素) ④对∨a∈V,都有V中的一个元素β,使得 a+B=0;(β称为O的负元素) 数量乘法满足下列两条规则: ⑤1a=a 6 k(la)=(hd)a 数量乘法与加法满足下列两条规则: ⑦(k+l)a=ka+la⑧k(a+)=ka+k
5 加法满足下列四条规则： ① + = + ④ 对 V, 都有V中的一个元素β，使得 ⑤ 1 = ⑥ k l kl ( ) ( ) = 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ ( ) k l k l + = + ③ 在V中有一个元素0，对 + = V, 0 有 （具有这个性质的元素0称为V的零元素） 数量乘法满足下列两条规则 : + = 0 ;（β称为 的负元素） ② ( ) ( ) + + = + + , , V ⑧ k k k ( ) + = +
注 1.凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 称为线性运算 2.线性空间的元素也称为向量,线性空间也称 向量空间.但这里的向量不一定是有序数组 3.线性空间的判定: 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭,或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条,则此集合 就不能构成线性空间
6 3 ．线性空间的判定： 注： 1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 称为线性运算． 就不能构成线性空间． 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者
例1引例1,2中的P,P|x]均为数域P上的线性空间 例2数域P上的次数小于n的多项式的全体,再添 上零多项式作成的集合,按多项式的加法和数量乘 法构成数域P上的一个线性空间,常用Pxn表示 Plx={f(x)=an1x+…+a1x+aan1;…,a1,ao∈P 例3数域P上m×n矩阵的全体作成的集合,按矩阵 的加法和数量乘法,构成数域P上的一个线性空间, 用P表示
7 例1 引例1, 2中的 Pn , P[x] 均为数域 P上的线性空间． 例2 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添 用 表示． m n P 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 1 1 1 0 1 1 0 [ ] { ( ) , , , } n P x f x a x a x a a a a P n n n − = = + + + − − 例3 数域 P上 m n 矩阵的全体作成的集合,按矩阵
例4令={f(4小/(x)∈剧对,4∈R" 即n阶方阵A的实系数多项式的全体,则关于矩阵 的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间 证:根据矩阵的加法和数量乘法运算可知 f(4)+g(4)=h(A),f(4)=d(4 其中,k∈R,h(x),d(4)∈R[x 又V中含有A的零多项式,即零矩阵0,为V的零元素 以八x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 fx),则几A)有负元素一fA).由于矩阵的加法与数 乘满足其他各条,故Ⅴ为实数域R上的线性空间
8 即n 阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵 例4 令 ( ) ( ) [ ], n n V f A f x R x A R = 的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间． 证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知 f A g A h A kf A d A ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) + = = 其中， k R h x d A R x , ( ), ( ) [ ] 又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素. 以f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 －f(x) ，则f(A)有负元素－f(A). 由于矩阵的加法与数 乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间
二、线性空间的简单性质 1、零元素是唯一的. 证明:假设线性空间Ⅴ有两个零元素01、02,则有 01=01+02=02 2、Va∈,的负元素是唯一的,记为-a 证明:假设O有两个负元素β、y,则有 a+B=0,a+y=0 B=B+0=B+(ay)=(B+a)+y=(a+B)+y=0+y=y ◇利用负元素,我们定义减法:a-B=a+()
9 二、线性空间的简单性质 1、零元素是唯一的. 2、 V ，的负元素是唯一的，记为- ． 证明：假设 有两个负元素 β、γ ，则有 ◇利用负元素，我们定义减法： 01 ＝01＋02 ＝02． 证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 = + = + + = + + = + + = + = 0 ( ) ( ) ( ) 0 + = + = 0, 0 − = + −( )
3、0a=0,k0=0,(-1)c=-a, k(a-B)=ka-kB 4、如果k=0,那么k=0或a=0 证明:假若k≠0,则 c=(kk)a=k-(ka)=k-0=0 10
10 0 0, 0 0, ( 1) , ( ) k k k k = = − = − − = − 3、 4、如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0. 1 1 1 ( ) ( ) 0 0. k k k k k − − − = = = = 证明：假若 k 0, 则