北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.3）线性变换的矩阵

§3线性变换的矩阵 线性变换与基 二、线性变换与矩阵 三、相似矩阵

1 一、 线性变换与基 二、 线性变换与矩阵 三、 相似矩阵

线性变换与基 1。设61,62;…,E是线性空间V的一组基,σ为V 的线性变换.则对任意5∈W存在唯一的一组数 x1,x2,…,xn∈P,使5=x十x22+…十x,En 从而,σ()=x1G(61)+xO(62)+…+xn(En 由此知,(2)由σ(61)(62)…(En)完全确定 所以要求V中任一向量在σ下的象,只需求出V的 组基在G下的象即可

2 一、 线性变换与基 的线性变换. 则对任意  V 存在唯一的一组数 1．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，  为V x x x P 1 2 , , , , n  使 1 1 2 2 n n     = + + + x x x 从而， 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). n n         = + + + x x x 由此知，  ( ) 由       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 完全确定. 一组基在  下的象即可. 所以要求V中任一向量在  下的象，只需求出V的

2.设E1,E2,…,En是线性空间v的一组基,O,T为 V的线性变换,若σ(G;)=(E;),i=1,2,…,n 则G= 证:对v5∈V,5=x151+x2E2+…+x,6, a(5)=x() 十xO(E,)+…+x z(4)=x2(a)+x2c(a2)+…xr(an) 由已知,即得G(4)=(5) 由此知,一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定

3 2．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，  , 为 V的线性变换，若 ( ) ( ), 1,2, , . i i     = =i n 则   = .         ( )＝x x x 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( )         ( )＝x x x 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( ) 由已知，即得     ( )＝ ( ).  =   . 由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定. 证：对 1 1 2 2 , V x x xn n   = + + +     

3.设出1,E2,…,En是线性空间v的一组基,对V中 任意n个向量a1,a2 都存在线性变换σ使 = n 证:V5∈V,设5=x1E1+x262+…+xnEn 定义a:→V,a(5)=x1a1+x2a2+…+xna 易知σ为V的一个变换,下证它是线性的 任取B,y∈V,设B∑b,y=∑

4 ( ) , 1,2, , i i   = =i n 证： 1 1 2 2 , V x x xn n   = + + +      设 定义  : , V V → ( ) 1 1 2 2 n n      ＝x x x + + + ， 1 2 , , , , 任意n个向量   n 都存在线性变换  使 3．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，对V中 易知  为V的一个变换，下证它是线性的. 1 1 , n n i i i i i i       V b c = = 任取 ，  = , = 设  

则+y=∑(b+c)G,kB=∑kb) 于是G(升+y)=∑b+ca=∑b+∑ca i=1 o(B)+o(r a(k)=∑ b)a=k∑ba1=ko(B) i=1 i=1 σ为V的线性变换 又6;=0E1+…+06;1+6;+0E++…+0En o8 n

5 则 1 1 , ) n n i i i i i i i      b c k b = = ＋ ＝  （ ＋ ） = (k 于是 ( ) 1 1 1 n n n i i i i i i i i i i       b c b c = = = ＋ = = +    （ ＋ ） = +     ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ) n n i i i i i i       k kb k b k = = = = =   (   为V的线性变换. 又 1 1 1 0 0 0 0 i i i i n       = + + + + + + − + ( ) , 1,2, , i i  = =    i n

由2与3即得 定理1设G1,E2,…,En为线性空间v的一组基, 对中任意m个向量a1,a2…,n,存在唯一的线性 变换σ,使 i=1,2 即(G(a),o(a)灬…(=)=(a1,a,,a

6 由2与3即得 定理1 设    1 2 , , , n 为线性空间V的一组基， 对V中任意n个向量    1 2 , , , , n 存在唯一的线性 ( ) 1,2, , . i i   = = ， i n 变换  , 使 即(         ( 1 2 1 2 ), , , ( , , , ) ( ) ( n n )) =

二、线性变换与矩阵 1.线性变换的矩阵 设 19c29 En为数域P上线性空间V的一组基, 为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设 (E1)=a1E1+a21E2+…+an1En (2)=012E1+a2E2+…+n2n o(En=a1nG+a2,22+.+aung 用矩阵表示即为 (61,E2,…,En)=(oE1,OE2,…,OEn 19c299

7 设    1 2 , , , n 为数域P上线性空间V的一组基，  为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设 用矩阵表示即为 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n                          = + + +  = + + +   = + + +  1 2 二、 线性变换与矩阵 1．线性变换的矩阵           ( 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , n n n ) = = ( ) ( ) A

其中 12 In A= 21 a22. aim n2 nn 矩阵A称为线性变换σ在基1,82,…,6n下的矩阵 注:①A的第例是a(a)在基61,62…,6n下的坐标, 它是唯一的.故a在取定一组基下的矩阵是唯一的 ②单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵; 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵; 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵;

8 其中 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n n n nn A              =       ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； ① A的第i列是  ( )i 在基    1 2 , , , n 下的坐标， 矩阵A称为线性变换  在基 1 2 下的矩阵. , , , n    注： 它是唯一的. 故  在取定一组基下的矩阵是唯一的. 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；

例1.设线性空间P3的线性变换为 15-293 25 X+x 求σ在标准基61,e2,E3下的矩阵 解:∵σ(a1)=σ(1,0,0)=(1,0,1) (E2)=(0,1,0)=(0,1,1) (E3)=(0,0,1)=(0,0,0) a(61,62,b3)=(61,b2,s3010 110

9 例1. 设线性空间 P 3 的线性变换  为 1 2 3 1 2 1 2  ( , , ) ( , , ) x x x x x x x = + 求 在标准基 1 2 3 下的矩阵.     , , 解： 3    ( ) (0,0,1) (0,0,0) = = 1    ( ) (1,0,0) (1,0,1) = = 2    ( ) (0,1,0) (0,1,1) = = 1 2 3 1 2 3 1 0 0 ( , , ) ( , , ) 0 1 0 1 1 0           =      

例2.设61,62,…,En/(m<m)为n维线性空间V的子空 间W的一组基,把它扩充为V的一组基:61,62…,En 并定义线性变换a: O8:=8 GE;=0i=m+1,…, m行 1,c29 1,c299 称这样的变换为对子空间W的一个投影 易验证a2=σ

10 例2. 设    1 2 , , , ( ) m m n  为n维线性空间V的子空 间W的一组基，把它扩充为V的一组基： 1 2 , , , . n    并定义线性变换 ：  1,2, , 0 1, , i i i i m i m n    = = = = +  ( 1 2 1 2 ) ( ) 1 1 , , , , , , 0 0        n n       =         则    m行 称这样的变换  为对子空间W的一个投影. 易验证 2  =