问题式教学法在线性代数教学中的应用 线性代数的复习方法 第一章行列式… 第二章矩阵 第三章向量 第四章线性方程组 第六章二次型 线性代数攻略 问题式教学法在线性代数教学中的应用 武汉科技学院数理系方文波 摘要:本文简要介绍了作者设计的线性代数问题式教学法该 方法以解决求解线性方程组时的三个问题为线索,一一引出该课程的 所有概念和理论。 关键词问题式教学法线性方程组 中图分类号G42307
问题式教学法在线性代数教学中的应用........................................................ 1 线性代数的复习方法............................................................................................ 12 第一章 行 列 式................................................................................................ 17 第二章 矩 阵..................................................................................................... 25 第三章 向 量..................................................................................................... 35 第四章 线性方程组............................................................................................ 44 第六章 二 次 型................................................................................................ 63 线性代数攻略.......................................................................................................... 72 问题式教学法在线性代数教学中的应用 武汉科技学院数理系 方文波 摘 要：本文简要介绍了作者设计的线性代数问题式教学法,该 方法以解决求解线性方程组时的三个问题为线索，一一引出该课程的 所有概念和理论。 关键词 问题式教学法 线性方程组 中图分类号 G423.07
1.前言 人类已跨入新世纪,进入信息时代。信息时代的特点是知识大爆 炸,新的学科不断出现,知识更新的周期越来越短。因此,新世纪对 人才有更高的要求:既要有扎实的基础知识,又要有不断学习新知识、 解决新问题的能力。传统的教学方法以传授知识为主,忽视了对学生 进行能力培养,因而已不适应新时代的要求,必须进行改革 线性代数是高等工科院校学生必修的一门主要基础课程。它是解 决现实世界中的离散问题的有力工具。作者经过十几年的教学实践, 发现线性代数是一门很有特色的课程。第一,线性代数中有很多有用 的方法,这些方法都是通过引进概念、建立相关的理论,再经过严密 的逻辑推理而得到。但用这些方法去解题时,又都是一些较简单的算 术运算。所以在教学时,教师应把重点放在这些方法的产生过程上, 而不是放在方法的使用上。事实上,这些方法的产生过程,就是提出 问题、分析问题、解决问题的过程。学生学习这一过程,也就是学习 如何提出问题、如何分析问题、如何解决问题,这有利于他们能力的 提高;第二,线性代数中的很多概念和理论都与线性方程组有关,在 教学时这些概念和理论可由“如何求解线性方程组”这一中心问题来 引出。因此,作者在教学过程中采用了问题式教学法。作者使用 的教材为同济大学编写的第三版,其内容有:行列式、 矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、相似矩阵及二次型、线性 空间与线性变换。作者把前四章定为知识篇,后两章为应用篇。下面
1. 前言 人类已跨入新世纪，进入信息时代。信息时代的特点是知识大爆 炸，新的学科不断出现，知识更新的周期越来越短。因此，新世纪对 人才有更高的要求：既要有扎实的基础知识，又要有不断学习新知识、 解决新问题的能力。传统的教学方法以传授知识为主，忽视了对学生 进行能力培养，因而已不适应新时代的要求，必须进行改革。 线性代数是高等工科院校学生必修的一门主要基础课程。它是解 决现实世界中的离散问题的有力工具。作者经过十几年的教学实践， 发现线性代数是一门很有特色的课程。第一，线性代数中有很多有用 的方法，这些方法都是通过引进概念、建立相关的理论，再经过严密 的逻辑推理而得到。但用这些方法去解题时，又都是一些较简单的算 术运算。所以在教学时，教师应把重点放在这些方法的产生过程上， 而不是放在方法的使用上。事实上，这些方法的产生过程，就是提出 问题、分析问题、解决问题的过程。学生学习这一过程，也就是学习 如何提出问题、如何分析问题、如何解决问题，这有利于他们能力的 提高；第二，线性代数中的很多概念和理论都与线性方程组有关，在 教学时这些概念和理论可由“如何求解线性方程组”这一中心问题来 一一引出。因此，作者在教学过程中采用了问题式教学法。作者使用 的教材为同济大学编写的>第三版，其内容有：行列式、 矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、相似矩阵及二次型、线性 空间与线性变换。作者把前四章定为知识篇，后两章为应用篇。下面
我以知识篇为例,简要介绍一下本人设计的问题式教学法,供有兴趣 的同仁参考,不当之处,望批评指正。 2.问题式教学法的总体设计 知识篇中的四个知识点的内在联系可用图1来表示 矩阵 行列式 线性方程组 应向量组 式引出 图1知识篇中的四个知识点的内在联系图 由于知识篇中的四个知识点有如图1所示的内在联系,所以在知 识篇中应用问题式教学法的总体构思如下:知识篇中的四个知识点以 线性方程组为中心,即整个知识篇以如何求解线性方程组这一中心问 题来展开。由求解特殊线性方程组即未知数的个数与方程的个数相等 且方程组中没有多余的方程可引出行列式的概念,接着研究行列式的 理论,最后由克莱姆法则解决这类方程的求解问题;对于一般的线性 方程组,先引出矩阵的概念,由于矩阵与方程组一一对应,因此研究 线性方程组就转化为研究矩阵,并最终由矩阵来解决解线性方程组的
我以知识篇为例，简要介绍一下本人设计的问题式教学法，供有兴趣 的同仁参考，不当之处，望批评指正。 2. 问题式教学法的总体设计 知识篇中的四个知识点的内在联系可用图 1 来表示 由于知识篇中的四个知识点有如图 1 所示的内在联系，所以在知 识篇中应用问题式教学法的总体构思如下：知识篇中的四个知识点以 线性方程组为中心，即整个知识篇以如何求解线性方程组这一中心问 题来展开。由求解特殊线性方程组即未知数的个数与方程的个数相等 且方程组中没有多余的方程可引出行列式的概念，接着研究行列式的 理论，最后由克莱姆法则解决这类方程的求解问题；对于一般的线性 方程组，先引出矩阵的概念，由于矩阵与方程组一一对应，因此研究 线性方程组就转化为研究矩阵，并最终由矩阵来解决解线性方程组的 一一对应 一 对 线性方程组 矩 阵 行 列 式 向 量 组 一 一 对 应 求解公 式引出 一 应 图 1 知识篇中的四个知识点的内在联系图
方法问题,这就是用矩阵的初等行变换求解线性方程组。但矩阵理论 没能解决抽象线性方程组解的结构问题,所以必须从另外的角度来硏 究方程组,于是引出向量,且方程组与向量组一一对应。最后由向量 解决了线性方程组的解的结构问题。通过方程组作为桥梁,把矩阵和 向量组这两个看似毫不相关的概念建立了联系,而且是一一对应的关 系。所以在研究向量组时,可以充分利用矩阵这一有力工具。 3线性代数问题式教学法 3.1问题提出 线性代数研究的一个主要问题是线性方程组,可同学们已经会解 方程组了,它还有什么好研究的呢?那么请看引例1。 引例1求解方程组 x+2y-z=1 3x+y+2z=2 y+3z=1 解①×(-1)②得2x-y+3z=1,即为方程③,也就是说满 足前两个方程的解一定满足第三个方程,所以第三个方程是多余的。 于是原方程的同解方程为 X+2y-z=1 3x+y+2z=2 上述方程组中再没有多余的方程,称之为原方程组的保留方程组。在 保留方程组中有三个未知数,而只有两个方程,故有一个未知数可自 由变化,解之得
方法问题，这就是用矩阵的初等行变换求解线性方程组。但矩阵理论 没能解决抽象线性方程组解的结构问题，所以必须从另外的角度来研 究方程组，于是引出向量，且方程组与向量组一一对应。最后由向量 解决了线性方程组的解的结构问题。通过方程组作为桥梁，把矩阵和 向量组这两个看似毫不相关的概念建立了联系，而且是一一对应的关 系。所以在研究向量组时，可以充分利用矩阵这一有力工具。 3. 线性代数问题式教学法 3.1问题提出 线性代数研究的一个主要问题是线性方程组，可同学们已经会解 方程组了，它还有什么好研究的呢？那么请看引例 1。 引例 1 求解方程组 x + 2y - z = 1 ......① 3x + y+2z = 2 ......② 2x – y +3z = 1 ......③ 解 ①×(-1)+② 得 2x – y + 3z = 1，即为方程③，也就是说满 足前两个方程的解一定满足第三个方程，所以第三个方程是多余的。 于是原方程的同解方程为： x + 2y - z = 1 3x + y+2z = 2 上述方程组中再没有多余的方程，称之为原方程组的保留方程组。在 保留方程组中有三个未知数，而只有两个方程，故有一个未知数可自 由变化，解之得
=3-k (k为任意实数) k 对于一般的线性方程组 ax,+a,2x2..+a,nx, =b, b 求解时与引例1类似,也需解决以下三个问题: 1)如何判别方程组中是否有多余的方程 2)如何找保留方程组; 3)如何求解保留方程组。 线性代数研究线性方程组就是要解决这三个问题。线性代数中的 概念的引出,理论的建立主要是为了解决这三个问题。 32行列式概念的引出 我们先解决特殊的线性方程组的求解问题,即方程的个数与未知 数的个数相等,且方程组中没有多余的方程。还是从引例开始。 引例2求解方程组 ∫ax1+a2x2=b (其中ana2a12a21≠0) 解用加减消元法解之得 b a -b ana22-a a 1a22-a2a 为了记忆该求解公式,引进记号D=12-a34,并
= = + = − z k y k x k 5 1 5 3 （k 为任意实数） 对于一般的线性方程组 Ⅰ + + + = + + + = + + + = m1 1 m2 2 mn n m 21 1 22 2 2n n 2 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 求解时与引例 1 类似，也需解决以下三个问题： 1)如何判别方程组中是否有多余的方程； 2)如何找保留方程组； 3)如何求解保留方程组。 线性代数研究线性方程组就是要解决这三个问题。线性代数中的 概念的引出，理论的建立主要是为了解决这三个问题。 3.2行列式概念的引出 我们先解决特殊的线性方程组的求解问题，即方程的个数与未知 数的个数相等，且方程组中没有多余的方程。还是从引例开始。 引例 2 求解方程组 + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b （其中 a11a22-a12a21≠0） 解 用加减消元法解之得 − − = − − = 11 22 12 21 2 11 1 21 2 11 22 12 21 1 22 2 12 1 a a a a b a b a x a a a a b a b a x 为了记忆该求解公式，引进记号 D= 21 22 11 12 11 22 12 21 a a a a a a − a a Δ ，并
称之为二阶行列式,则上述求解公式可写成: D 其中D为系数行列式,D为D中的第j列换成常数项。 类似地三元线性方程组 2x1+a2x2+a23x3=b2 a3 x, +a%2X2+a33x,=b 的求解公式可写成 1,2,3) 其中D=a2a2a2,称之为三阶行列式,D为D中的第j列换成 常数列。 元、三元线性方程组的求解公式很有规律,那么n元线性方程 组是否也有类似的求解公式呢?为了解决这一问题,我们需要定义n 阶行列式。接着分析二阶、三阶行列式定义的共同特点,引出n阶行 列式的定义,然后研究它的性质、计算方法,最后由克莱姆法则解决 这类方程组的求解问题 33矩阵概念的引出 线性方程由未知变量的系数和常数项唯一确定,而与未知变量的 记号无关。因此,研究方程组的求解问题,只需研究由方程组中的每 个方程的未知变量的系数和常数项构成的数表即可,称这样的数表为 矩阵。例如引例1中的方程组对应于矩阵
称之为二阶行列式，则上述求解公式可写成： = = D D x D D x 2 2 1 1 其中Ｄ为系数行列式，Dj为 D 中的第 j 列换成常数项。 类似地三元线性方程组 + + = + + = + + = 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的求解公式可写成： D D x j j = ， （j=1,2,3） 其中 D＝ 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a ，称之为三阶行列式，Dj为 D 中的第 j 列换成 常数列。 二元、三元线性方程组的求解公式很有规律，那么ｎ元线性方程 组是否也有类似的求解公式呢？为了解决这一问题，我们需要定义ｎ 阶行列式。接着分析二阶、三阶行列式定义的共同特点，引出ｎ阶行 列式的定义，然后研究它的性质、计算方法，最后由克莱姆法则解决 了这类方程组的求解问题。 3.3矩阵概念的引出 线性方程由未知变量的系数和常数项唯一确定，而与未知变量的 记号无关。因此，研究方程组的求解问题，只需研究由方程组中的每 个方程的未知变量的系数和常数项构成的数表即可，称这样的数表为 矩阵。 例如引例 1 中的方程组对应于矩阵
B 2-131 反之,给定矩阵B,可唯一地得到引例1中的方程组,即方程组与矩 阵一一对应。这样研究方程组的求解问题就转化为研究矩阵的某些问 题。如判断引例1中的方程组中是否有多余的方程的过程①×(-1)+ ②等价于矩阵B作如下等价变换 12-1 12-1 B=31222+(-1)2-131|=B 2-13 从矩阵B1中很容易看出原方程中有一个多余的方程,因为B1中有两 行完全相同。 矩阵的概念虽然引出了,但到底如何利用矩阵来研究线性方程 组,这又是我们要解决的问题,为此要对矩阵进行研究。这样自然而 然地引导带着强烈求知欲望的学生参与到矩阵理论的学习中去,而且 他们是带着问题去学习,这样一方面可以变以前是教师向他们灌知识 到现在他们主动学知识,达到提高学习效率的目地;另一方面,带着 问题去学习的学习过程,其实是在学习前人如何创造性地解决问题的 过程,从而可提高他们解决问题的能力 24向量概念的引进 行列式和矩阵都没能很好地解决解方程组的三个问题,为了解决 这三个问题,必须再引进新的概念并建立更严谨的理论体系,那么, 还可以用什么工具来研究方程组呢?这时自然会想到几何中的向量, 因为向量是一个有序数组,而线性方程中的未知变量的系数及常数项
− − = 2 1 3 1 3 1 2 2 1 2 1 1 B ， 反之，给定矩阵Ｂ，可唯一地得到引例 1 中的方程组，即方程组与矩 阵一一对应。这样研究方程组的求解问题就转化为研究矩阵的某些问 题。如判断引例 1 中的方程组中是否有多余的方程的过程①×(-1)+ ②等价于矩阵Ｂ作如下等价变换： Ｂ＝ 2 1 B1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 2 1 1 r ( 1)r 2 1 3 1 3 1 2 2 1 2 1 1 = − − − + − − − 从矩阵 B1中很容易看出原方程中有一个多余的方程，因为 B1中有两 行完全相同。 矩阵的概念虽然引出了，但到底如何利用矩阵来研究线性方程 组，这又是我们要解决的问题，为此要对矩阵进行研究。这样自然而 然地引导带着强烈求知欲望的学生参与到矩阵理论的学习中去，而且 他们是带着问题去学习，这样一方面可以变以前是教师向他们灌知识 到现在他们主动学知识，达到提高学习效率的目地；另一方面，带着 问题去学习的学习过程，其实是在学习前人如何创造性地解决问题的 过程，从而可提高他们解决问题的能力。 2.4 向量概念的引进 行列式和矩阵都没能很好地解决解方程组的三个问题，为了解决 这三个问题，必须再引进新的概念并建立更严谨的理论体系，那么， 还可以用什么工具来研究方程组呢？这时自然会想到几何中的向量， 因为向量是一个有序数组，而线性方程中的未知变量的系数及常数项
按某种规律也可看成是一个有序数组。如方程x+2y-z=1对应于向量 a1=(12,-1,1),引例1中的方程组对应于向量组a=(1,2.-11),a 2=(3,12),α=(2,-1,3,1)。这样研究方程组的求解问题可转化为研究 它所对应的向量组的性质。这样又自然地把学生引导到向量理论的学 习上来 在定义了向量组的线性相关性以后,问题1)得到了解决:方程组 中有多余方程的充要条件是它所对应的向量组线性相关。但这一问题 只是从理论上得到解决,因为向量组的线性相关性的判别目前只能用 定义,而由定义判别向量组的线性相关性又必须解方程组,形成了一 个环,因此必须解决向量组的线性相关性的判别问题。于是新的问题 又出现了,这一新问题由向量组的线性相关性的四个判别定理来解 决。这样很抽象的四个定理,在同学们翘首以待的过程中,被一一地 引出了。讲完这四个定理后,我又提出这样一个问题:这四个定理只 是从理论上解决了向量组的线性相关性的判别问题,若用它们来判别 某些具体的向量组的线性相关性,有时很困难,甚至不可能。但在这 四个定理的指导下,我们可以找到判别向量组的线性相关性的有效方 法,在介绍这一方法之前,我们必须学习向量组的秩及其有关理论。 那么我们的有效方法究竟是怎样的呢?咱们以后再说 有了上次课的伏笔,本节课再重复一下上次提出的问题,进一步 激发同学们的学习兴趣,然后再讲解向量组的秩和极大无关组的概 念,以及本节的一个重要定理和它的四个推论。本节的内容讲完后, 再回到解方程组的三个问题上来。解方程组的第二个问题在本节得到
按某种规律也可看成是一个有序数组。如方程 x+2y-z=1 对应于向量 α1=(1,2,-1,1),引例 1 中的方程组对应于向量组α1=(1,2,-1,1),α 2=(3,1,2,2),α3=(2,-1,3,1)。这样研究方程组的求解问题可转化为研究 它所对应的向量组的性质。这样又自然地把学生引导到向量理论的学 习上来。 在定义了向量组的线性相关性以后，问题 1)得到了解决：方程组 中有多余方程的充要条件是它所对应的向量组线性相关。但这一问题 只是从理论上得到解决，因为向量组的线性相关性的判别目前只能用 定义，而由定义判别向量组的线性相关性又必须解方程组，形成了一 个环，因此必须解决向量组的线性相关性的判别问题。于是新的问题 又出现了，这一新问题由向量组的线性相关性的四个判别定理来解 决。这样很抽象的四个定理，在同学们翘首以待的过程中，被一一地 引出了。讲完这四个定理后，我又提出这样一个问题：这四个定理只 是从理论上解决了向量组的线性相关性的判别问题，若用它们来判别 某些具体的向量组的线性相关性，有时很困难，甚至不可能。但在这 四个定理的指导下，我们可以找到判别向量组的线性相关性的有效方 法，在介绍这一方法之前，我们必须学习向量组的秩及其有关理论。 那么我们的有效方法究竟是怎样的呢？咱们以后再说。 有了上次课的伏笔，本节课再重复一下上次提出的问题，进一步 激发同学们的学习兴趣，然后再讲解向量组的秩和极大无关组的概 念，以及本节的一个重要定理和它的四个推论。本节的内容讲完后， 再回到解方程组的三个问题上来。解方程组的第二个问题在本节得到
解决,即方程组的保留方程组即为它所对应的向量组的一个极大无关 组所对应的方程组。学完本节后,上一节提出的方法问题也得到了解 决:若向量组的秩小于向量组中的向量个数,则该向量组线性相关。 但现在需解决的问题是如何有效地求向量组的秩和极大无关组。为了 解决这一问题,需要进一步研究矩阵以及矩阵和向量组的关系 利用方程组作为桥梁,把矩阵和向量组形成一一对应。定义了矩 阵的秩后,求向量组的秩即为求矩阵的秩。接着介绍求矩阵秩的方法。 在讲解这一方法时,必须讲清楚向量组的线性相关性的判别定理在其 中所起的重要作用,使同学们深刻地体会前人如何用理论来巧妙地解 决问题,从而达到提高能力的目的。在这里,问题3)也得到了解决: 若方程组I的保留方程组中含有r个方程,则该方程组中有n个变 量可自由变化,且其余r个变量可由这nr个变量唯一表示。 25解方程组的有效方法 通过前面的学习,虽然我们已经解决了求解方程组的三个问题, 但并没有找到解方程组的有效方法。为了找到行之有效的方法,我们 需继续学习矩阵的初等变换、向量空间、方程组解的结构等概念和理 论。最后我们找到的解方程组的有效方法是:利用矩阵的初等行变换 来求解方程组。至此方程组的求解问题得到了圆满解决,>这门课的前四章内容也就讲完了。 4.结束语 作者认为问题式教学法的精髓在于,教师通过不断地提出问题、 分析问题、解决问题,激发同学们的学习兴趣,使他们带着问题去学
解决，即方程组的保留方程组即为它所对应的向量组的一个极大无关 组所对应的方程组。学完本节后，上一节提出的方法问题也得到了解 决：若向量组的秩小于向量组中的向量个数，则该向量组线性相关。 但现在需解决的问题是如何有效地求向量组的秩和极大无关组。为了 解决这一问题，需要进一步研究矩阵以及矩阵和向量组的关系。 利用方程组作为桥梁，把矩阵和向量组形成一一对应。定义了矩 阵的秩后，求向量组的秩即为求矩阵的秩。接着介绍求矩阵秩的方法。 在讲解这一方法时，必须讲清楚向量组的线性相关性的判别定理在其 中所起的重要作用，使同学们深刻地体会前人如何用理论来巧妙地解 决问题，从而达到提高能力的目的。在这里，问题 3)也得到了解决： 若方程组Ⅰ的保留方程组中含有 r 个方程，则该方程组中有 n-r 个变 量可自由变化，且其余 r 个变量可由这 n-r 个变量唯一表示。 2.5解方程组的有效方法 通过前面的学习，虽然我们已经解决了求解方程组的三个问题， 但并没有找到解方程组的有效方法。为了找到行之有效的方法，我们 需继续学习矩阵的初等变换、向量空间、方程组解的结构等概念和理 论。最后我们找到的解方程组的有效方法是：利用矩阵的初等行变换 来求解方程组。至此方程组的求解问题得到了圆满解决，>这门课的前四章内容也就讲完了。 4. 结束语 作者认为问题式教学法的精髓在于，教师通过不断地提出问题、 分析问题、解决问题，激发同学们的学习兴趣，使他们带着问题去学
习,在分析、解决问题的过程中学习新知识;同时,这种教学法也能 提高同学们发现、分析、解决问题的能力。作者在讲授线性代数这门 课时,以线性方程组为主线,把行列式、矩阵、向量组的线性相关性 这三个知识点有机地串在一起;把解决解方程组的三个问题贯彻在整 个讲授过程中,在讲解不同的章节时又分别提出相关的问题。这种教 学法比传统的照本宣科、灌输式教学法所取得的教学效果要好得多, 本人多年的教学实践证明了这一点 在这里需要说明的是,第一,作者把行列式、矩阵、向量组的线 性相关性等概念及相关理论的产生,都说成是为解线性方程组而产生 的,这可能与它们产生的实际背景不相同,但这只是作者讲课时的一 种处理方法,是否恰当有待商讨;第二,作者把行列式、矩阵、向量 组的线性相关性等理论的作用局限于解方程组,而事实上,这些理论 的应用范围非常广,这也是作者的一种处理方法。这种处理方法符合 学科发展的一般规律,即某一理论发展的初期可能是为了解决某一问 题,但当这一理论相当成熟以后,又可用来解决很多其它领域的问题, 因此,应向学生反复强调这一点。 参考文献: []同济大学数学教研线性代数,北京:高等教育出版社,1999 年3月第3版 [2]李世栋等线性代数,北京:科学出版社,2000年1月第1版
习，在分析、解决问题的过程中学习新知识；同时，这种教学法也能 提高同学们发现、分析、解决问题的能力。作者在讲授线性代数这门 课时，以线性方程组为主线，把行列式、矩阵、向量组的线性相关性 这三个知识点有机地串在一起；把解决解方程组的三个问题贯彻在整 个讲授过程中，在讲解不同的章节时又分别提出相关的问题。这种教 学法比传统的照本宣科、灌输式教学法所取得的教学效果要好得多， 本人多年的教学实践证明了这一点。 在这里需要说明的是，第一，作者把行列式、矩阵、向量组的线 性相关性等概念及相关理论的产生，都说成是为解线性方程组而产生 的，这可能与它们产生的实际背景不相同，但这只是作者讲课时的一 种处理方法，是否恰当有待商讨；第二，作者把行列式、矩阵、向量 组的线性相关性等理论的作用局限于解方程组，而事实上，这些理论 的应用范围非常广，这也是作者的一种处理方法。这种处理方法符合 学科发展的一般规律，即某一理论发展的初期可能是为了解决某一问 题，但当这一理论相当成熟以后，又可用来解决很多其它领域的问题， 因此，应向学生反复强调这一点。 参考文献： [1]同济大学数学教研. 线性代数, 北京: 高等教育出版社, 1999 年 3 月第 3 版. [2]李世栋等. 线性代数, 北京: 科学出版社, 2000 年 1 月第 1 版