85初等因子
一、初等因子的定义 二、初等因子与不变因子的关系 三、初等因子的求法
、初等因子的定义 把矩阵A∈C"的每个次数大于零的不变因子 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,所有这些 一次因式的方幂(相同的必须按出现的次数计算) 称为A的初等因子
一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算） 把矩阵 A C n n 的每个次数大于零的不变因子 称为A的初等因子. 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些 一、初等因子的定义
例1、若12级复矩阵A的不变因子是: 1,(-1)2(-1)2(+1),(x-1)2(4+1)(x2+1)2 则A的初等因子有7个,它们是 (孔-1)2,(孔-1)2,(-1)2,(元+1),(+1) (+i)2,(-i)
2 2 2 2 2 1,1, ,1, ( 1), ( 1) ( 1), ( 1) ( 1)( 1) − − + − + + 9个 则A的初等因子有7个，它们是 222 ( 1) , ( 1) , ( 1) , ( 1), ( 1), − − − + + 例1、若12级复矩阵A的不变因子是: 2 2 ( ) , ( ) + − i i
二、初等因子与不变因子的关系 分析:①设n级矩阵A的不变因子为已知: d1(x),d2(x),…,dn(x) 将l(x)(i=1,2,,n)分解成互不相同的一次因式 的方幂的乘积: d1(x)=(λ-1)(-42)2…(λ-4,)v d2(x)=(4-41(4-42)2…(-4,), n(x)=(2-1)"(2-2)2…(-)m
① 设n级矩阵A的不变因子为已知： 1 2 ( ), ( ), , ( ) n d x d x d x 将 d x i n i ( ) ( 1,2, , ) = 分解成互不相同的一次因式 二、初等因子与不变因子的关系 的方幂的乘积: 11 12 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , r k k k r d x = − − − 21 22 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , r k k k r d x = − − − 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . n n nr k k k n r d x = − − − 分析:
则其中对应于k≥1的那些方幂 (-,)"(k;≥1) 就是A的全部初等因子 ②注意到不变因子d1(x),d2(x),…,dn(x)满足 d1(x)|d+1(x),i=1,2,…,n-1 从而有 (-1)"|(x i+1,j i=1,2,…,n-1,j=1,2, 因此有,k≤k≤…≤k,j=1,2,…
则其中对应于 1 的那些方幂 : i j k ( ) ( 1) i j k j i j − k 就是A的全部初等因子. ② 注意到不变因子 d x d x d x 1 2 ( ), ( ), , ( ) n 满足 1 ( ) | ( ), 1,2, , 1 i i d x d x i n + = − 从而有 1 , ( ) | ( ) , 1,2, , 1, 1,2, i j i j k k j j i n j r + − − = − = 因此有, 1 2 , 1,2, , j j nj k k k j r =
即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中, 方次最高的必出现在dn(4)的分解式中,次高的必 出现在dn1()的分解式中 如此顺推下去,可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子,在不变因子的分解式中出现的位置是 唯一确定的
即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中， 方次最高的必出现在 dn ( ) 的分解式中，次高的必 出现在 的分解式中. 1 ( ) n d − 如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是 唯一确定的
③设n级矩阵A的全部初等因子为已知 在全部初等因子中,将同一个一次因式 (孔-λ1)j=1,2, 的方幂的那些初等因子按降幂排列,而且当这种初 等因子的个数不足n个时,则在后面补上适当个数 的1,使其凑成n个,设所得排列为 (元-1)",(-1 ,(-元
③ 设 n 级矩阵 A 的全部初等因子为已知. 在全部初等因子中，将同一个一次因式 ( ) 1,2, j − =j r 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初 等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数 的1，使其凑成n个，设所得排列为 1, 1 ( ) , ( ) , , ( ) , 1,2, . n j n j j k k k j j j j r − − − − =
于是令 d(x)=(λ-A1)(λ-12)2…(-1)",i=1,2,…,n 则d1(x),d2(x),…,dn(x) 就是A的不变因子
于是令 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2, , i i ir k k k i r d x i n = − − − = 则 1 2 ( ), ( ), , ( ) n d x d x d x 就是A的不变因子
例1、已知3级矩阵A的初等因子为:(4-1)2,元-2 求A的不变因子 解:作排列(2-1)2,1,1 -2,1,1 得A的不变因子为: d3(x)=(元-1)(-2)
例1、已知3级矩阵A的初等因子为： 2 ( 1) , 2. − − 求A的不变因子. 解：作排列 2 ( 1) , 1, 1 − − 2, 1, 1 得A的不变因子为： 2 3 d x( ) ( 1) ( 2), = − − 2 1 d x d x ( ) ( ) 1. = =
结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子, 则它们就有相同的初等因子; 反之,若它们有相同的初等因子,则它们就有 相同的不变因子 结论2、两个同级数字矩阵相似 分它们有相同的初等因子 可见:初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量
结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子， 则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有 结论2、两个同级数字矩阵相似 可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量. 相同的不变因子. 它们有相同的初等因子