北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第五章 二次型（5.1）二次型的矩阵表示

第五章二沙型 91二次型的矩阵表示 82标准形 84正定二次型 章小结与习题

§2 标准形 §3 唯一性 §4 正定二次型 §1 二次型的矩阵表示 章小结与习题

1二次型的矩降裹尔 HOME

一、n元二次型 四、小结 三、矩阵的合同 二、非退化线性替换

问题的引入 解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线 f∫=ax2+2bxy2+qy2 选择适当角度∫x= xcos 0- y'sin 6 0,逆时针旋转 y=xcos 6+y'sin 6 坐标轴 (标准方程)

解析几何中 选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴 (标准方程) 中心与坐标原点重合的有心二次曲线 问题的引入: 2 2 2 f ax bxy cy = + + 2  cos sin cos sin x x y y x y     = −   = +   2 2 f a x c y = +    

代数观点下 二次齐次多项式 ∫(x1,x2,…,xn) x=cubit C12v2 +'.+CInyn 作适当的 x2=C21V,+c ∴+C,V 非退化线 22y2 2n.n 性替换 n=Cny1+Cn2y2+…+c nn.n 只含平方项的多项式 (标准形)

代数观点下 作适当的 非退化线 性替换 只含平方项的多项式 二次齐次多项式 (标准形) 1 2 ( , , , ) n f x x x        = + + + = + + + = + + + n n n n n n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1

、n元二次型 1、定义:设P为数域,az∈fP,i,j=1,2,… n个文字x1,x2…,xn的二次齐次多项式 f∫(x1,x2,…,Xn)=a1x1+212x1x2+…+21nx1xn 十 22 十 +2a n +a2x2+…+2 ann 十 2 TaX nn 称为数域P上的一个n元二次型

一、n元二次型 1、定义：设P为数域， 称为数域P上的一个n元二次型． ① 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) 2 2 n n n f x x x a x a x x a x x = + + + n个文字 x x x 1 2 , , , n 的二次齐次多项式 , , 1,2, , , ij a P i j n  = 2 22 2 2 2 2 n n + + + a x a x x 2 33 3 3 3 2 n n + + + a x a x x + 2 nn n + a x

注意 1)为了计算和讨论的方便,式①中x(i<j的系数 写成2n 2)式①也可写成 f( 152 n)=∑anx2+2∑ l≤i<i≤n

注意 2) 式① 也可写成 2 1 2 1 1 ( , , , ) 2 n n ii i ij i j i i j n f x x x a x a x x =    = +   1) 为了计算和讨论的方便,式①中 x i j ij( )  的系数 写成 2 . ij a

2、二次型的矩阵表示 1)约定①中a9,由x=xx,有 f(x1,x2,,xn)=a1+a12x1x2+……+a1nx1x 十 21 X+a 十…十uyX 2n 十 +n1n1+an2Xnx↓,、 ∑∑ airily

1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有 ② 2、二次型的矩阵表示 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x a x a x x a x x = + + + 2 21 2 1 22 2 2 2 n n + + + + a x x a x a x x + 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x 1 1 n n i j ij i j a x x = = =  

12 令A=a21a2…2n (A∈p") 1n2 nn 则矩阵A称为二次型∫(x,x2,…,xn)的矩阵 2)令X 由 12 XX=(x,x2y…,xn)2122 2n 1n2

11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a     =       令 ( ) n n A p   则矩阵A称为二次型 的矩阵. 1 2 ( , , , ) n f x x x 1 2 , n x x X x     =       2) 令 由 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ( , ,..., ) ... n n n n n nn n a a a x a a a x X AX x x x a a a x        =         

∑ ∑ 192,… x∑a11+x2∑1x+…+x∑ ∑x∑ax)=∑∑nx 于是有∫(x1,x2…,xn)=XAX

于是有 1 2 ( , ,..., ) . n f x x x X AX =  1 1 2 1 2 1 1 ( , ,..., ) n j j j n j j n j n nj j j a x a x x x x a x = = =         =                1 1 2 2 1 1 1 n n n j j j j n nj j j j j x a x x a x x a x = = = = + + +    1 1 ( ) n n i ij j i j x a x = = =   1 1 n n i j ij i j a x x = = =  

注意: 1)二次型的矩阵总是对称矩阵即X=A 2)二次型与它的矩阵相互唯一确定,即 若XAX=XBX且A'=A,B'=B,则 A B (这表明在选定文字x1,x2,…,xn下,二次型 f(x1,x2…,xn)=XAX完全由对称矩阵A决定, 正因为如此,讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具

注意: 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具. A B = . 若 X AX X BX   = 且 A A B B   = = , ，则 1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A A  = . （这表明在选定文字 下，二次型 完全由对称矩阵A决定.) 1 2 ( , ,..., ) n f x x x X AX =  1 2 , ,..., n x x x