北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第四章 矩阵（4.7）分块乘法的初等变换及应用

第七节分块乘法的初等变换及 应用 本节介绍矩阵运算中,矩阵的分块乘法与 初等变换的结合使用 将单位矩阵做如下分块 E 0 实施三种初等变换,得到如下类型矩阵

第七节 分块乘法的初等变换及 应用 本节介绍矩阵运算中，矩阵的分块乘法与 初等变换的结合使用 将单位矩阵做如下分块       n m E E 0 0 实施三种初等变换，得到如下类型矩阵

EnP 0 0 00E 用这些矩阵左乘任一个分块矩阵 A B C D 只要分块乘法能够进行,其结果就是对它进 行相应的变换

                  P E E P E E m m n n 0 0 , 0 0 , 0 0 . 0 , 0             n m n m P E E E E P 用这些矩阵左乘任一个分块矩阵       C D A B 只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进 行相应的变换

只要分块乘法能够进行,其结果就是对它进 行相应的变换 0 EnlA B1_「C E 0‖CD|AB P 0‖ A B PA PB L0E,CD」LCD 0‖AB B EMC DC+PA D+PB

只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进 行相应的变换        =            A B C D C D A B E E m n 0 0        =            C D PA PB C D A B E P 0 n 0       + +  =            C PA D PB A B C D A B P E E n m 0

右乘任一个矩阵,有相应结果 b0 EnB A CD‖E, D C A BP 0AP B CD0E,」CPD A BEm 0A+BP B C DP EC+DP D

右乘任一个矩阵，有相应结果。        =            D C B A E E C D A B m n 0 0        =            CP D AP B E P C D A B 0 n 0       + +  =            C DP D A BP B P E E C D A B n m 0

适当选取P,可使C+PA4=0,例如A可逆时,取 =-CA,则C+PA=0.于是 E 0‖AB B P Enc D」LC+PAD+PB E 0A B B P E,C DL0D-C4B」 用下面例子看出在行列式、逆矩阵和解决其 它问题中的应用

适当选取P, 可使C+PA=0 ,例如A可逆时，取 , −1 P = −CA 则C + PA = 0. 于是       + +  =            C PA D PB A B C D A B P E E n m 0  =            C D A B P E E n m 0       − − D CA B A B 1 0 用下面例子看出在行列式、逆矩阵和解决其 它问题中的应用

A 0 例1T= A,D可逆,求T1 解由 0A0|A0 CA EC D0 D 及 0

例1       = C D A T 0 A, D 可逆，求 −1 T 解 及 由       =            − − D A C D A CA E E n m 0 0 0 0 1          =      − − − 1 1 1 0 0 0 0 D A D A

T 0 D CA-I -D CA D 例2们1= C BD 设T可逆,D可逆,试证-BDC)存在,并求

        − =        −        = − − − − − − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 D CA D A CA E E D A T n m 例2       = C D A B T1 1 1 1 1 1 ( ) − − − 设T 可逆，D可逆，试证A− BD C 存在，并求T

BD B A-BDC 0 D 而右端仍可逆,敝-BDC)存在 再由例1有 x1=(4-BD2C) BD D-IC(A-BD-C)-1 D-0 (A-BDC (A-BD-C)-BD DC(A-BDCO D-C(A-BD-C)-BD-+D-

        −  =              − − − C D A BD C C D A B E E BD n m 0 0 1 1 而右端仍可逆，故(A− BD−1 C) −1 存 在 再由例1 有         −         − − − = − − − − − − − − n m E E BD D C A BD C D A BD C T ( ) 0 ( ) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1         − − − + − − − = − − − − − − − − − − − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) D C A BD C D C A BD C BD D A BD C A BD C BD

例3证明行列式的乘积公成B=4B 作 E 0 AB Enl-e b E B 设4,B为nxn阵,作 i,j=1,2,…,m,这里E;为nxn阵,除了第行,第列 元素为a;外,其它元素皆为零,则由初等矩阵与 初等变换的关系,得端为

例 3 证明行列式的乘积公式AB = A B       −  =      −       E B AB E B A E E A n m 0 0 0 作 设A,B为nn阵，作 , 0       = n m i j i j E E E P 初等变换的关系，得右端 为 元素为 外，其它元素皆为零，则由初等矩阵与 这 里 为 阵，除了第行，第 列 i j i j a i, j = 1,2,,n, E n n i j

E 0 E 1112 n nn 又由P:所对应的初等变换不磁行列式的值,故 E A 0 P1…P E E B E B E AB 右 经过n次列的对换变成 E B

       =      = n n n n n n nn E E A E E P P P P P 0 0 0 1 1 1 2 1  1  又由Pi j所对应的初等变换不改变行列式的值，故 A B E B A E B A P P E B A E E A nn = − =       −  =      −       0 0 0 0 1 1 右 端 经 过n次列的对换变成 E B AB       − 0