第八章A一矩阵 81一矩阵82一矩阵的标准形 83不变因子§4矩阵相似的条件 5初等因子 小结与习题
§2 λ－矩阵的标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §1 λ－矩阵 小结与习题 第八章 －矩阵 §6 若当(Jordan)标准 形的理论推导 §5 初等因子
81一矩阵
一、 λ－矩阵的概念 三、 可逆λ－矩阵 二、 λ－矩阵的秩
、入一矩阵的概念 定义 设P是一个数域,4是一个文字,P扎是多项式环 若矩阵A的元素是x的多项式,即P的元素,则 称A为元一矩阵,并把A写成A() 注 ①∵PcP[4,∴数域P上的矩阵一数字矩阵也 是一矩阵
定义： 若矩阵A的元素是 的多项式，即 P[ ] 的元素，则 设P是一个数域， 是一个文字， P[ ] 是多项式环， 称A为 ―矩阵，并把A写成 A( ). 一、λ－矩阵的概念 注： ① P P [ ], ∴ 数域P上的矩阵—数字矩阵也 是 ―矩阵
②元-矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算, 其定义与运算规律与数字矩阵相同 ③对于n×n的一矩阵,同样有行列式|A(), 它是一个九的多项式,且有 A(x)B(x)|=A()‖!B(x) 这里A(),B()为同级一矩阵 ④与数字矩阵一样,λ一矩阵也有子式的概念 元一矩阵的各级子式是九的多项式
其定义与运算规律与数字矩阵相同. ③ 对于 n n 的 ―矩阵，同样有行列式 | ( ) |, A 它是一个 的多项式，且有 | ( ) ( ) | | ( ) || ( ) | . A B A B = 这里 A B ( ), ( ) 为同级 ―矩阵. ④ 与数字矩阵一样， ―矩阵也有子式的概念. ―矩阵的各级子式是 的多项式. ② ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算
、一矩阵的秩 定义 若λ一矩阵A(4)中有一个r(r≥1)级子式不为零, 而所有r+1级的子式(若有的话)皆为零,则称 A()的秩为r 零矩阵的秩规定为0
若 ―矩阵 A( ) 中有一个 r r( 1) 级子式不为零， 而所有 r + 1 级的子式（若有的话）皆为零，则称 A( ) 的秩为r . 二、λ－矩阵的秩 定义： 零矩阵的秩规定为0
三、可逆入一矩阵 定义: 个n×n的一矩阵A(4)称为可逆的,如果有 一个n×n的一矩阵B(),使 A()B()=B()A(1)=E 这里E是n级单位矩阵 称B(4)为Ax)的逆矩阵(它是唯一的),记作
三、可逆λ－矩阵 一个 n n 的 ―矩阵 A( ) 称为可逆的，如果有一 A B B A E ( ) ( ) ( ) ( ) = = 一个 n n 的 ―矩阵 B( ) ，使 定义： 这里E是n级单位矩阵. 称 B( ) 为 A( ) 的逆矩阵(它是唯一的)，记作 1 A ( ). −
判定 (定理1)一个n×n的九一矩阵A(逆 令|4()是一个非零常数 证:“→”若A()可逆,则有B(),使 A(4)B()=E 两边取行列式,得 A()B()=A(川B()=E=1 4(1),B()都是零次多项式,即为非零常数
（定理1） 一个 n n 的 ―矩阵 A( ) 可逆 A( ) 是一个非零常数. 证: “ ” 若 A( ) 可逆，则有 B( ) ，使 A B E ( ) ( ) = 两边取行列式，得 A B A B E ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = = = A B ( ) , ( ) 都是零次多项式，即为非零常数. 判定：
“∈”设A(4)=d是一个非零常数 A"()为A(孔)的伴随矩阵,则 A(4)A(4)=A(a)4()=E A(1)可逆.A(4)=A'()
“ ” 设 A d ( ) = 是一个非零常数. A ( ) 为 的伴随矩阵，则 A( ) 1 1 A A A A E ( ) ( ) ( ) ( ) d d = = A( ) 可逆. 1 1 A A ( ) ( ). d − =
