北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第九章 欧氏空间（9.6）实对称矩阵的标准形

§6实对称矩阵的标准形 、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题

1 一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题

、实对称矩阵的一些性质 引理1设是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数 证:设是A的任意一个特征值,则有非零向量 满足A5=An9

2 一、实对称矩阵的一些性质 引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数． 1 2 n x x x      =         证：设 0 是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 0 A   =

x1 X2 其中x;为x的共轭复数 又由A实对称,有A=A,A=A,A5=A5 55=(10)=(44)=(5A) =(A)=(45)5=(A4) =(415)5=(05)6=05

3 A A A A = = , ,  其中 x x i 为 i 的共轭复数， 1 2 , n x x x      =         令    0   ( )   A  =  = ( ) A  又由A实对称，有 ( )    0 =  A A   =   ( ) A     ( ) 0 =  = ( )   A  = = ( ) A  0 = ( )       0  =

考察等式,A055=055 由于5是非零复向量,必有 55=x1x1+x2x2+…+xnxn≠0 故A0=λa A∈R

4 1 2 1 2 n 0 n   x x x x x x  = + + +  由于  是非零复向量，必有 故 0 0   = . 0    R. 考察等式， 0       0   =

引理2设A是实对称矩阵,在n维欧氏空间R上 定义一个线性变换σ如下: o(a)=Aa,Va∈R 则对任意a,B∈R,有 (a(a),B)=(a,a(B) 或 B(Aa =a(AB)

5 引理2 设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间 上 n R ( ) , n     =   A R 定义一个线性变换  如下： (      ( ), , ( ) , ) = ( ) 则对任意  , ,  R n 有 或       ( ) ( ). A A =

证:取R"的一组标准正交基, 则G在基E1,E2,…,En下的矩阵为A,即 (G1,62,…,En)=( 1c29·℃n )4 任取a=,B=2|∈R

6 1 2 1 0 0 0 1 , , ..., 0 0 0 1 n                = = =                   1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., )        n n = A 证：取 R n 的一组标准正交基， 则  在基    1 2 , ,..., n 下的矩阵为A，即 任取 1 1 2 2 , , n n n x y x y R x y           = =             

△ 即a=x161+x262+…+xnEn=( 1c29· X β=y1E1+y2E2+…+ynEn=(61,E2,…,En)Y, 于是 o(a)=a(E1,62y…,En)X=(61,2,…,En)AX, (B)=G(61;E2,,En)Y=(a1,62…,En)AY, 又61,22”…En是标准正交基, (o(a) B)=(AX)Y =(XA,)Y=XAY X'(Ar)=(a, o(B)

7 1 1 2 2 ... n n     = + + + y y y 1 1 2 2 ... n n 即     = + + + x x x  = (   ( ), ( ) ) AX Y = X AY ( ) 1 2 ( , ,..., ) , =    n X 1 2 ( , ,..., ) , =    n Y 于是 1 2 1 2 ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ,          = = n n X AX 1 2 1 2 ( ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ,          = = n n Y AY 又    1 2 , ,..., n 是标准正交基， = ( ) X A Y   = X AY  = (   , ( ))

又注意到在R"中a=X,B=Y, 即有B(a)=(B,o(ax)=(a(a),) =(a,o()=a(4B) 二、对称变换 1.定义 设σ为欧氏空间Ⅴ中的线性变换,如果满足 (a(a),B)=(a,o() B∈V, 则称a为对称变换

8 = (   , ( )) =  ( ). A 即有      ( ) , ( ) A = ( ) = (   ( ), ) 又注意到在 中   = = X Y , , n R 二、对称变换 1．定义 (        ( ), , ( ) , , , ) =   ( ) V 则称  为对称变换． 设  为欧氏空间V中的线性变换，如果满足

2.基本性质 1)n维欧氏空间Ⅴ的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的: ①实对称矩阵可确定一个对称变换 事实上,设A∈R"",A'=A,出1,E2,En为Ⅴ的 组标准正交基.定义ⅴ的线性变换σ 19.n 19°° 则σ即为V的对称变换

9 1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的： 2．基本性质 ① 实对称矩阵可确定一个对称变换． 一组标准正交基． 1 1 ( ,... ) ( ,... )      n n = A 事实上，设 , , n n A R A A   = 1 2 , ,..., n    为V的 定义V的线性变换  ： 则  即为V的对称变换．

②对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵. 事实上,设o为n维欧氏空间V上的对称变换, E1,62,…,En为V的一组标准正交基,A=(an)∈R 为σ在这组基下的矩阵,即 19c2 ,Em=(8 19299n 或 o(E1)=a151+a21E2+…+unEn ∑ kik g n k=1

10 ② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵． ( ) n n A a R ij     1 2 , , , n 为V的一组标准正交基， =  事实上，设  为n维欧氏空间V上的对称变换， 为  在这组基下的矩阵，即 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )        n n = A 或 1 1 2 2 ( )i i i ni n      = + + + a a a 1 , 1,2, , n ki k k a i n  = = = 