Linear Algbra 线性代数 Prof, Xiaorong GEl5V Facultyof sathematics, Kuiming University of Science Technology
Prof. Xiaorong GAN Faculty of Mathematics, Kunming University of Science & Technology
第一章行列式 ■第一节二阶与三阶行列式 ■第二节全排列及其逆序数 ■第三节n阶行列式的定义 第四节对换 ■第五节行列式的性质 ■第六节行列式按行(列)展开 ■第七节克拉默法则
第 一 章 行列式 第一节 二阶与三阶行列式 第二节 全排列及其逆序数 第三节 n 阶行列式的定义 第七节 克拉默法则 第六节 行列式按行(列)展开 第四节 对换 第五节 行列式的性质
第一章行列式 第一节二阶与三阶行列式 一、二阶行列式 引例1用消元法解二元线性方程组 」a1 X ax 122 =6 larix,+a22-x2=b2 (1)
一 、二阶行列式 引例1 用消元法解二元线性方程组 + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b （１） 第一章 行 列 式 第一节 二阶与三阶行列式
解用加减消元法,可得 11022 a12a2)x1=ba2-a2b2, 1122 当a1(2a121≠0时,求得方程组(1)的解为 b 22 122 xX l122 120121 b2-b1 (2) 21 1022 120121
− = − − = − ( ) . ( ) , 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 a a a a x a b b a a a a a x b a a b 解 用加减消元法，可得 当 a11a22 - a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为 − − = − − = . , 11 22 12 21 11 2 1 21 2 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a a b b a x a a a a b a a b x （２）
引入记号 2 11022 12021 22 并称之为二阶行列式其中a1称为行列式的元 素,an的两个下标表示该元素在行列式中的位 置,第一个下标称为行标表示该元素所在的行, 第二个下标称为列标,表示该元素所在的列,常 称a为行列式的(i,j)元素或元
引入记号 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 并称之为二阶行列式． 称 aij 为行列式的(i , j )元素或元． 第二个下标称为列标，表示该元素所在的列，常 置，第一个下标称为行标，表示该元素所在的行， 素， aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位 其中 aij 称为行列式的元
由二阶行列式的定义,(2)式中x1,x2的分 子也可写成二阶行列式,即 1b2 -,a2 若记 D 12 D D 2 122 则当D≠O时,方程组(1)有唯一解 注意:D称为系数 XI D 2 D 行列式,D是用常 数项b1,b2替换D中 的第j列(=1,2)
由二阶行列式的定义， , 2 22 1 12 1 22 12 2 b a b a b a − a b = . 21 2 11 1 11 2 1 21 a b a b a b −b a = 若记 则当Ｄ ０时，方程组 , 21 22 11 12 a a a a D = , 2 22 1 12 1 b a b a D = , 21 2 11 1 2 a b a b D = . 2 2 D D , x = 1 1 D D x = 注意：Ｄ称为系数 行列式，Ｄj是用常 数项b1 , b2替换Ｄ中 的第 j 列 (j=1,2). 子也可写成二阶行列式，即 （１） （２） − − = − − = . , 11 22 12 21 11 2 1 21 2 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a a b b a x a a a a b a a b x + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 有唯一解 − − = − − = . , 11 22 12 21 11 2 1 21 2 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a a b b a x a a a a b a a b x （２） （１） + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 式中 x1，x2 的分
三阶行列式 定义设有9个数排成3行3列的数表 1 12 13 21 22 23 (3) 12 记 22a a aon+, taa 132132 13022031 12210133 1123325 (4)式称为数表(3)所确定的三阶行列式
, (4) 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − = + + − 定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表 (3) 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a 记 （4）式称为数表（3）所确定的三阶行列式. 二、三阶行列式
三阶行列式的对角线法则如下图所示 … 其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每 条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代 教和就是三阶行列式的展开式
31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一 条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代 数和就是三阶行列式的展开式. 三阶行列式的对角线法则如下图所示:
三、举例 例2计算三阶行列式 21 D=21 3 解
例 2 计算三阶行列式 . 1 1 1 2 1 3 1 2 1 D − − − − = 例 2 计算三阶行列式 1 1 1 2 1 3 1 2 1 − − − − D = 解 由对角线法则, 得 D =11(−1) + (−2)(−3)(−1) +1 21− 1(−3)1− (−2) 2(−1) −11(−1) = −1− 6 + 2 + 3 − 4 + 1 = −5. 三、举例
例3求解方程 23x|=0 解弋
例 3 求解方程 0. 4 9 2 3 1 1 1 2 = x x 例 3 求解方程 0 . 4 9 2 3 1 1 1 2 = x x 解 方程左端的三阶行列式 3 4 18 9 2 12 2 2 D = x + x + − x − x − 5 6, 2 = x − x + 由 5 6 0 2 x − x + = 解得 x = 2 或 x = 3