微积分产生的历史背景 数学中的转折点是笛卡尔的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辫证法进入了 数学,有了变数,微分学和积分学也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生,并且是有牛 顿和莱布尼兹大体上完成的,但不是由他们发明的。 恩格斯 从15世纪初欧洲文艺复兴时期起,工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展,形成 了一个新的经济时代,宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑,东方先进的科学技术通过阿拉伯的 传入,以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲,在当时的知识阶层面前呈现出一个完 全斩新的面貌。而十六世纪的欧洲,正处在资本主义萌芽时期,生产力得到了很大的发展,生 产实践的发展向自然科学提出了新的课题,迫切要求力学、天文学等基础学科的发展,而这些 学科都是深刻依赖于数学的,因而也推动的数学的发展。科学对数学提出的种种要求,最后汇 总成车个核心问题: (1)运动中速度与距离的互求问题(几何演示) 即,已知物体移动的距离S表为时间的函数的公式S=S(t)求物体在任意时刻的速度和加 速度;反过来,已知物体的加速度表为时间的函数的公式,求速度和距离。这类问题是研 究运动时直接出现的,困难在于,所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如, 计算物体在某时刻的瞬时速度,就不能象计算平均速度那样,用运动的时间去除移动的距 离,因为在给定的瞬间,物体移动的距离和所用的时间是0,而00是无意义的。但是,根 据物理,每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度,这也是无疑的。已知速度公式求 移动距离的问题,也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化,所以不能用运动的时 间乘任意时刻的速度,来得到物体移动的距离。 (2)求曲线的切线问题(几何演示) 这个问题本身是纯几何的,而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要,光 学是时十七世纪的一门较重要的科学研究,透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道,必 须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律,这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角, 而法线是垂直于切线的,所以总是就在于求出法线或切线;另一个涉及到曲线的切线的科 学问题出现于运动的研究中,求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向,即轨迹的切 线方向。 (3)求长度、面积、体积、与重心问题等(几何演示 这些问题包括,求曲线的长度(如行星在已知时期移动的距离),曲线围成的面积,曲面围 成的体积,物体的重心,一个相当大的物体(如行星)作用于另一物体上的引力。实际上, 关于计算椭圆的长度的问题,就难住数学家们,以致有一段时期数学家们对这个问题的进 一步工作失败了,直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题,早古希腊时期人们就
微积分产生的历史背景 数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了 数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是有牛 顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。 恩格斯 从 15 世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成 了一个新的经济时代，宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进的科学技术通过阿拉伯的 传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层面前呈现出一个完 全斩新的面貌。而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，生 产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，而这些 学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动的数学的发展。科学对数学提出的种种要求，最后汇 总成车个核心问题： （1） 运动中速度与距离的互求问题（几何演示） 即，已知物体移动的距离 S 表为时间的函数的公式 S=S（t）,求物体在任意时刻的速度和加 速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。这类问题是研 究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如， 计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距 离，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是 0，而 0/0 是无意义的。但是，根 据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。已知速度公式求 移动距离的问题，也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时 间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。 （2） 求曲线的切线问题（几何演示） 这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光 学是时十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必 须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角， 而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科 学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切 线方向。 （3） 求长度、面积、体积、与重心问题等（几何演示） 这些问题包括，求曲线的长度（如行星在已知时期移动的距离），曲线围成的面积，曲面围 成的体积，物体的重心，一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。实际上， 关于计算椭圆的长度的问题，就难住数学家们，以致有一段时期数学家们对这个问题的进 一步工作失败了，直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题，早古希腊时期人们就
用穷竭法求出了一些面积和体积,如求抛物线y=x2在区间|0,1上与x轴和直线x=1所围 成的面积S,他们就采用了穷竭法。当n越来截越小时,右端的结果就越来越接近所求的 面积的精确值。但是,应用穷竭法,必须添上许多技艺,并且缺乏一般性,常常得不到数 字解。当 Archimedes的工作在欧洲闻名时,求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。穷 竭法先是迳渐地被修改,后来由于微积分的创立而根本地修改了。 (4)求最大值和最小值问题(几何演示) 炮弹在炮筒里射出,它运行的水平距离,即射程,依赖于炮筒对地面的倾斜角,即发射角。 一个“实际”的问题是求能获得最大射程的发射角。十七世纪初期, Galileo断定(在真空 中)最大射程在发射角是45时达到;他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的 最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题,例如求行星离开太阳的最远 和最近距离
用穷竭法求出了一些面积和体积，如求抛物线 2 y = x 在区间[0，1]上与 x 轴和直线 x=1 所围 成的面积 S，他们就采用了穷竭法。当 n 越来截越小时，右端的结果就越来越接近所求的 面积的精确值。但是，应用穷竭法，必须添上许多技艺，并且缺乏一般性，常常得不到数 字解。当 Archimedes 的工作在欧洲闻名时，求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。穷 竭法先是逐渐地被修改，后来由于微积分的创立而根本地修改了。 （4） 求最大值和最小值问题（几何演示） 炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾斜角，即发射角。 一个“实际”的问题是求能获得最大射程的发射角。十七世纪初期，Galileo 断定（在真空 中）最大射程在发射角是 45 时达到；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的 最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题，例如求行星离开太阳的最远 和最近距离