高等数学《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第八章 重积分

生→、问题的提出 1.曲顶柱体的体积 ∠H 柱体体积=底面积×高 特点:平顶 f(,y 柱体体积=? 特点:曲顶 D 曲顶柱体 反回

柱体体积=底面积×高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. z  f ( x, y) D １．曲顶柱体的体积 一 、问题的提出

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和 王、取极限”的方法,如下动画演示 工工 番放 反回

播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．

步骤如下: 先分割曲顶柱体的底, 并取典型小区域, (x,y) 用若干个小平 顶柱体体积之 y 工工 和近似表示曲 顶柱体的体积,x (2m) 王曲顶柱体的体积v=m∑(5m) i=1 反回

步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，x z y o D z  f (x, y) i  ( , ) i i 先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域， lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f          曲顶柱体的体积

2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域 D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定 p(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 中将薄片分割成若干小块, 取典型小块,将其近似 (5n,n) 午看作均匀薄片, △O 所有小块质量之和 王近似等于薄片总质量M=lm∑(5,n)A, = 反回

设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定  ( x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ ２．求平面薄片的质量  i  ( , )  i i 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M  i         x y o

生二、二重积分的概念 c定义设∫(x,)是有界闭区域D上的有界函 数,将闭区域D任意分成n个小闭区域△a1 △a2,…,△an,其中△表示第个小闭区域, 庄也表示它的面积,在每个A上任取一点 中(5,m), 上作乘积f(5,m)△ (i=1,2,…,n), 并作和∑f(51,m)△ 反回

定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D上的有界函 数，将闭区域 D任意分成n个小闭区域 1 ，  2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域， 也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个  i 上 任 取 一 点 ( , )  i i ， 作乘积 ( , ) i i f    i ， (i  1,2,,n)， 并作和 i i n i i  f     ( , ) 1 ， 二、二重积分的概念

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y)在闭区域D上的二重积分 记为f(x,y)do, 即 f(x,klim∑f(5,n)△a →0 【=」 积被积 被面 分积分 积积积 区函变 表元分 域数量 达素和 式 反回

如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为 D f ( x, y)d ， 即 D f ( x, y)d i i n i i f          lim ( , ) 1 0

对二重积分定义的说明: (1在二重积分的定义中,对闭区域的划分是 任意的 (2)当∫(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式 的极限必存在,即二重积分必存在 二重积分的几何意义 中当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 二当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值 反回

(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．

在直角坐标系下用平 F行于坐标轴的直线网来划 分区域D, H### 上则面积元素为do=dxdy 故二重积分可写为 士 f(x,y)d引f(x,y) D D 反回

在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，     D D f ( x, y)d f ( x, y)dxdy d  dxdy 故二重积分可写为 x y o 则面积元素为

生三、二重积分的性质 (二重积分与定积分有类似的性质) 性质1当k为常数时, ∫(,yd=k(x,y)la D D 性质2f(x,y)±g(x,y)da D f(x,y)d± g(x,y)dσ 反回

性质１ 当 k为常数时， ( , ) ( , ) .    D D kf x y d k f x y d 性质２   D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) .     D D f x y d g x y d （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质

性质3对区域具有可加性(D=D1+D2) 生/(x,)g=(xy+(xya D 性质4若a为D的面积,σ=1.d=do 工工 性质5若在D上f(x,y)≤g(x,y), 则有f(x,y)dasg(x,y)do D D 特殊地∫/(x, y)dolf(x,y)do D 反回

性质３ 对区域具有可加性 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2      D D D f x y d f x y d f x y d 性质４ 若  为D的面积， 1 .      D D  d d 性质５ 若在D上 f (x, y)  g(x, y), ( , ) ( , ) .    D D f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) .    D D f x y d f x y d ( ) D  D1  D2 则有