14无穷小与无穷大 Infinitesimal and Infinity
October, 2004 Infinitesimal and Infinity 1.4 无穷小与无穷大
无穷小( Infinitesimal) lim f(r)=A If(x)-A0) →limf(x)-4=0 <lmnf(x)-4]=0 E lima(x=0 a(x)=f(x)-A 即,每一个有极限的函数f(x)都与一个趋于0的 函数f(x)-A联系着。 因此,以0为极限的函数在极限理论和极限的计 算中扮演着特殊而重要的角色。 October 2004
October, 2004 一、无穷小 (Infinitesimal) lim ( ) f x A = f x A ( ) ( 0) − lim ( ) 0 f x A− = lim[ ] 0 f x A ( ) − = 即，每一个有极限的函数 f(x) 都与一个趋于 0 的 函数 f(x) - A 联系着。 因此，以 0 为极限的函数在极限理论和极限的计 算中扮演着特殊而重要的角色。 lim 0 (x) = ( ) ( ) x f x A = −
定义1 无穷小就是在自变量的某个变化过程中,以0 为极限的函数(或变量)。 若lmf(x)=0 则f(x)是x→>x0时的无穷小 若limf(x)=0 x→ 则f(x)是x→∞时的无穷小 无穷小一般用希腊字母a,,γ等表示 October 2004
October, 2004 定义 1 无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以 0 为极限的函数（或变量）。 0 lim ( ) 0 x x f x → 若 = 0 则 f x x x ( )是 → 时的无穷小 lim ( ) 0 x f x → 若 = 则 f x x ( )是 → 时的无穷小 无穷小一般用希腊字母 α, β, γ 等表示
匚无穷小的δ定义 a(x)是x→x0时的无穷小 e lima(x=0 x->x0 今VE>0,彐6>0 x:0<x-x<0→a(x)<E October 2004
October, 2004 0 lim ( ) 0 x x x → = 0 ( ) x x x 是 → 时的无穷小 0 0, 0 x x x x : 0 ( ) − 无穷小的 ε-δ 定义
无穷小的例子 下列函数何时为无穷小? (x-1)(x→>1)‘im(x-1)2=0 x-1 x→∝ X X→ 3 e(x>-∞) lime=0 x→一
October, 2004 无穷小的例子 2 ( 1) x − ( 1) x → 下列函数何时为无穷小？ 2 1 lim( 1) 0 x x → − = 1 x ( ) x → 1 lim 0 x→ x = x e ( ) x → − lim 0 x x e →− = x y e =
下列函数何时为无穷小? 2x(x→>0)∵x→0→-→-0 lim 2x=0 x->0 2 《学习指导》p21 October 2004
October, 2004 下列函数何时为无穷小？ 1 2 x ( 0 ) x → − x 0 → − 1 x → − 1 0 lim 2 0 x x→ − = 《学习指导》p.21 1 2 x y = with(plots):
下列函数何时为无穷小? 10 n2+1 (n→>o) 0 n→>∞n2+1 October 2004
October, 2004 下列函数何时为无穷小？ 2 10 1 n n + ( ) n → 2 10 lim 0 n 1 n → n = +
注意: (1)任何非零常数(无论其绝对值多么小)都不 是无穷小,如0.01,0.00003 (2)0是唯一的无穷小常数。 (3)无穷小必须与自变量的变化过程联系起来, 不能孤立地说一个变量是无穷小。 如(x-1)2(x→>1)是无穷小 但(x-1)2(x→>0)不是无穷小 详见《学习指导》p15,问115 October 2004
October, 2004 注意： (1) 任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不 是无穷小，如 0.01, 0.0000023。 (2) 0 是唯一的无穷小常数。 (3) 无穷小必须与自变量的变化过程联系起来， 不能孤立地说一个变量是无穷小。 详见《学习指导》p.15, 问1.15 如 2 ( 1) x − ( 1) x → 是无穷小 但 2 ( 1) x − ( 0) x → 不是无穷小
定理1(函数极限与无穷小的关系) lim f()=Af(x)=A+a(x) lima(x)=o 证以极限imf(x)=A为例。 x-xo October 2004
October, 2004 定理 1 （函数极限与无穷小的关系） lim ( ) f x A = f x A ( ) = +(x) lim 0 (x) = 证 以极限 为例。 0 lim ( ) x x f x A → =
lim f(x)=a x→>x Va>o 彐δ>0 x:00,3δ>0, vx:0 分冷a(x)=f(x)-A是无穷小 分>f(x)=A+a(x)a(x)是无穷小 October 2004
October, 2004 0 lim ( ) x x f x A → = 0 , ( 0, ) 0 x x x : 0 f x A − − 0 0, ) , : 0 ( 0 x x x x − ((x f x A ) ) = ( − ) 0 lim 0 ( ) x x x → = ( ) ( ) x f x A = − 是无穷小 f x A x ( ) ( ) = + α(x) 是无穷小