庄=、问题的提出 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线y y=∫(x) 午y=f(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=a、 王x=b所围成 o a bx A=Lf(x)de 上页
回顾 曲边梯形求面积的问题 = b a A f (x)dx 一、问题的提出 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x) 0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)
面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间[a,b分成t个长度为x的小区间 相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形,第 小窄曲边梯形的面积为4,则A=∑△4 (2)计算△4的近似值 △42≈f(5)△x;5;∈△x 王(3)求和,得的近似值A=∑f(5)△x 王页下
面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a,b]分成n 个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 = = n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i xi A f ( ) i xi （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x =
(4)求极限,得A的精确值 A=im∑f(5)Ax=(x)ht面 积 i=1 提示若用△A表示任一小区间 素 x,x+△x上的窄曲边梯形的面积 y7/(x 则A=∑△4,并取△A≈f(x)d 于是A≈∑∫(x)d 庄4m2()=/mkb 上页
a b x y o y = f (x) （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = A，并取A f ( x)dx， 于是A f (x)dx A = lim f (x)dx ( ) . = b a f x dx x x + dx dA 面 积 元 素
当所求量U符合下列条件: (1)U是与一个变量x的变化区间a,b有关 的量; (2)U对于区间,b具有可加性,就是说, 如果把区间[a,b分成许多部分区间,则相 应地分成许多部分量,而等于所有部分量之 工工工 和 (3)部分量△U1的近似值可表示为f()△1; 就可以考虑用定积分来表达这个量 上页
当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关 的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U
元素法的一般步骤 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例为 积分变量,并确定它的变化区间[a,b; 王2)把间的分个小间其中任 间的部分量△U的近似值如果AU能近似地表示 为[a,b上的一个连续函数在x处的值f(x)与h 中的乘积,就把f(x)x称为量的元素且记作 王d,即U=/(x) 上页
元素法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）设想把区间[a,b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[x, x + dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x 处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ，即dU = f ( x)dx；
3)以所求量的元素∫(x)x为被积表达式,在 区间a6上作定积分,得U=f(x), 即为所求量U的积分表达式 这个方法通常叫做元素法 工工工 应用方向 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长; 功:水压力;引力和平均值等 上页
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx为被积表达式，在 区间[a,b]上作定积分，得 = b a U f (x)dx， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
二、小结 王元素法的提出、思想、步骤 (注意微元法的本质) 上页
元素法的提出、思想、步骤. （注意微元法的本质） 二、小结
思考题 微元法的实质是什么? 上页
思考题 微元法的实质是什么？
思考题解答 微元法的实质仍是“和式”的极限 上页
思考题解答 微元法的实质仍是“和式”的极限
、直角坐标系情形 卩↑y=∫(x) y=2(x) y:=f(x) xx+△zb5 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A=Cf(x)dx A=12(x)-f1(x)c 上页
x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 一、直角坐标系情形 xx + x xx