生一、问题的提出 例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 王解设所求曲线为y=x) =2x其中x=时,y=2 d x 卩=2xa即y=x2+C,求得C=1 所求曲线方程为y=x2+1 上页
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M( x, y)处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 y = 2xdx 其中 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x + 一、问题的提出
例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶 当制动时列车获得加速度-04米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 王行驶了多少路程? 王解设制动后t秒钟行驶s米S=(0 d-s d2-0.4t=0时,s=0,v dS20, dt ds v==-0.4t+C1 s=-0.212+C1t+C2 dt 上页
例 2 列车在平直的线路上以 2 0 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度− 0.4米/秒 2 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 设制动后t 秒钟行驶 s 米, s = s(t) 0.4 2 2 = − dt d s = 0 , = 0, = = 20, dt ds t 时 s v 4 1 0. t C dt ds v = = − + 1 2 2 s = −0.2t + C t + C
士 代入条件后知C1=20,C2=0 d v==-0.4t+20, t 故s=-0.2t+20t, 开始制动到列车完全停住共需t=2=50(秒), 0.4 牛列车在这段时间内行驶了 s=-02×502+20×50=500米) 上页
代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0 0.2 20 , 2 s = − t + t = = −0.4t + 20, dt ds v 故 50( ), 0.4 20 t = = 秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s = − 2 + = 米 开始制动到列车完全停住共需
庄三、微分方程的定义 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 牛例y=,p”+2y-3y=e, O 王(2+x)+x=0 =x+y, ax 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式 上页
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2 3 , x y + y − y = e x y, x z = + 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义
分类1:常微分方程,偏常微分方程 微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之 分类2: 阶微分方程F(x,y,y)=0,y=f(x,y); 工工工 王高阶(⑦微分方程F(x,ny,…y")=0 y()=∫(x,y,y,…,y(") 上页
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 一阶微分方程 F(x, y, y) = 0, y = f (x, y); 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y ( , , , , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y y 分类2:
分类3:线性与非线性微分方程 y'+P(x)y=o(x), x(y)=2yy'+x=0; 王分类4单个微分方程与微分方程组 「p=3y-23, dx d d r<y- Z, 上页
分类3: 线性与非线性微分方程. y + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y − yy + x = 分类4: 单个微分方程与微分方程组. = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dx dy
生三、主要问题 求方程的解 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 王设=qx在区间/上有n阶导数, 工工工 F(x,p(x),p'(x),…,((x)=0. 微分方程的解的分类: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 上页
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x x x = n 微分方程的解的分类： 三、主要问题-----求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
例y'=y,通解y= ce y"+y=0,通解y=c1sinx+c2cosx; (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象:微分方程的积分曲线 通解的图象:积分曲线族 初始条件:用来确定任意常数的条件 上页
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y = y, ; x 通解 y = ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = c1 x + c2 x 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件
初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题 一阶: y=∫(x,y) VeX =yo 过定点的积分曲线; 「y”=f(x,y,y') 二阶 x=c J 05x=x 0 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 上页
过定点的积分曲线; = = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶: = = = = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题
例3验证:函数x=c1cos+c2sinM是微分 方程+k2x=0的解.并求满足初始条件 d 0 =A,=0的特解 dt t=0 解 -kCi sin kt+kC, cos kt, 工工工 dt d=x__kiC cos kt-k c2 sin ht t 2 将2和x的表达式代入原方程, dt 上页
例 3 验证:函数x c cos kt c sinkt = 1 + 2 是微分 方程 0 2 2 2 + k x = dt d x 的解. 并求满足初始条件 , 0 0 0 = = = = t t dt dx x A 的特解. 解 sin cos , kC1 kt kC2 kt dt dx = − + cos sin , 2 2 1 2 2 2 k C kt k C kt dt d x = − − , 2 2 将 和x的表达式代入原方程 dt d x