110闭区间上连续函数的性质 Continuous functions on a closed Interval 孙
October, 2004 1.10 闭区间上连续函数的性质 Continuous Functions on a Closed Interval
函数f(x)在闭区间{a,b上连续是指f(x)在该 区间内的每一个点处都连续,并且在两个端 点单侧连续。 闭区间{a,b上的连续函数y=fx)的图形是 条从点A(a,八(a)到点B(b,八(b)的连续不 间断的曲线。 B f(a f(b) b October 2004
October, 2004 函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续是指 f(x) 在该 区间内的每一个点处都连续，并且在两个端 点单侧连续。 a f x( ) b B A f a( ) f b( ) 闭区间[a, b] 上的连续函数y = f(x) 的图形是 一条从点 A(a, f(a))到点 B(b, f(b)) 的连续不 间断的曲线
最值性和有界性 定理1(最值定理) 在闭区间|a,b上连续函数f(x)定能在该区 间上取得最大的函数值和最小的函数值。 f(x) f(5)=M B f()=m b October 2004
October, 2004 一、最值性和有界性 定理 1（最值定理） 在闭区间 [a, b] 上连续函数 f(x)一定能在该区 间上取得最大的函数值和最小的函数值。 f M ( ) = f m ( ) = a f x( ) b B A M m
证明? 这个看似简单的定理的证明其实很难, 涉及较多的实数和分析理论。 证明从略 有兴趣的同学可以参考《数学分析》 中的证明。 A B M October 2004
October, 2004 a f x( ) b A B M m 证明 ? 这个看似简单的定理的证明其实很难， 涉及较多的实数和分析理论。 证明从略 有兴趣的同学可以参考《数学分析》 中的证明
定理1“(有界性定理) 在闭区间{a,b上连续函数f(x)在该区间上是 有界的。 证明:事实上由 f(x) m≤f(x)≤M M B (a≤x≤b 知函数fx)在闭区 间[a,b上有界。 b October 2004
October, 2004 定理 1‘（有界性定理） 在闭区间 [a, b] 上连续函数 f(x) 在该区间上是 有界的。 证明：事实上由 m f x M ( ) ( ) a x b 知函数 f(x)在闭区 间 [a, b] 上有界。 a f x( ) b B A M m
、零点定理与介值定理 定理2(零点定理) 设函数八x)在闭区间{a,b上连续,且fa)与 fb)异号,则在区间(a,b内至少存在一点点 使得八(2)=0。 这个点称为函数x)的零点,或方程/x)=0的 根 October 2004
October, 2004 二、零点定理与介值定理 定理 2（零点定理） 设函数 f(x)在闭区间 [a, b] 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号，则在区间 (a, b) 内至少存在一点ξ， 使得 f(ξ) = 0。 这个点称为函数f(x) 的零点，或方程f(x)= 0 的 根
零点定理的几何解释 f(a)f(b)<0 X b October 2004
October, 2004 零点定理的几何解释 a f x( ) b f a f b ( ) ( ) 0
证明? 同样,这个看似简单的定理的证明其实很难, 涉及较多的实数和分析理论。 从略 有兴趣的同学可以参考《数学分析》中的证 明 f( October 2004
October, 2004 证明 ? 同样，这个看似简单的定理的证明其实很难， 涉及较多的实数和分析理论。 从略 有兴趣的同学可以参考《数学分析》中的证 明。 a f x( ) b
定理3(介值定理) 设函数八x)在闭区间{a,b上连续,且M和m 分别是函数在[ab上的最大值和最小值,则对 任何介于M和m值的数C,在区间(a,b)内至 少存在一点,使得f=C。 彐∈[a,b] such that f()=C October 2004
October, 2004 定理 3（介值定理） 设函数 f(x)在闭区间 [a, b] 上连续，且 M 和 m 分别是函数在[a, b] 上的最大值和最小值，则对 任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间 (a, b) 内至 少存在一点 ξ， 使得 f(ξ) = C。 [ , ] a b such that ( ) f C =
定理3(介值定理) 设函数fx)在闭区间Ia,b上连续,且M和m 分别是函数在{a,b上的最大值和最小值,则对 任何介于M和m值的数C,在区间(a,b)内至 少存在一点,使得f(3)=C 证明思路f(2)=Cf()-C=0 f(x)-C有零点? 作辅助函数q(x)=f(x)-C 再用零点定理即可自学! October 2004
October, 2004 定理 3（介值定理） 设函数 f(x)在闭区间 [a, b] 上连续，且 M 和 m 分别是函数在[a, b] 上的最大值和最小值，则对 任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间 (a, b) 内至 少存在一点 ξ， 使得 f(ξ) = C。 证明思路 f C ( ) = f C ( ) 0 − = f x C ( ) − 有零点？ 作辅助函数 ( ) ( ) x f x C = − 再用零点定理即可 自学！