清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 第六章分支限界法
1 第六章 分支限界法
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 第六章分支限界法 本章主要知识点 61分支限界法的基本思想 ·6.2单源最短路径问题 6.3装载问题 64布线问题 650-1背包问题 66最大团问题 67旅行售货员问题 ·68电路板排列问题 69批处理作业调度 2
2 第六章 分支限界法 本章主要知识点 • 6.1 分支限界法的基本思想 • 6.2 单源最短路径问题 • 6.3 装载问题 • 6.4 布线问题 • 6.5 0－1背包问题 • 6.6 最大团问题 • 6.7 旅行售货员问题 • 6.8 电路板排列问题 • 6.9 批处理作业调度
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 61分支限界法的基本思想 1.分支限界法与回溯法的不同 1)求解目标:回溯法的求解目标是找出解空间树中满 足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是 找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的 解中找出在某种意乂下的最优解。 (2)搜索方式的不同:回溯法以深度优先的方式搜索解 空间树,而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优 先的方式搜索解空间树
3 6.1 分支限界法的基本思想 1. 分支限界法与回溯法的不同 （1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中满 足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是 找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的 解中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解 空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优 先的方式搜索解空间树
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 61分支限界法的基本思想 2.分支限界法基本思想 分支限界法常以广度优先或以最小耗费(最大效益)优先的方式搜 索问题的解空间树。 在分支限界法中,每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结 点一旦成为扩展结点,就一次性产生其所有儿子结点。在这些丿 子结点中,导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃,其 余儿子结点被加入活结点表中 此后,从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点,并重复上述结 点扩展过程。这个过程直持续到找到所需的解或活结点表为空 时为止 4
4 6.1 分支限界法的基本思想 2. 分支限界法基本思想 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜 索问题的解空间树。 在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结 点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿 子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其 余儿子结点被加入活结点表中。 此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结 点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空 时为止
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 61分支限界法的基本思想 3.常见的两种分支限界法 (1)队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出(FIFO)原则选取下一个节点为扩 展节点。 (2)优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点 成为当前扩展节点
5 6.1 分支限界法的基本思想 3. 常见的两种分支限界法 （1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩 展节点。 （2）优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点 成为当前扩展节点
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 62单源最短路径问题 1.问题描述 下面以一个例子来说明单源最短路径问题:在下图所给的有 向图G中,每一边都有一个非负边权。要求图G的从源顶点到目 标顶点t之间的最短路径。 d f k h
6 6.2 单源最短路径问题 1. 问题描述 下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下图所给的有 向图G中，每一边都有一个非负边权。要求图G的从源顶点s到目 标顶点t之间的最短路径
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 62单源最短路径问题 下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最短路径问题 产生的解空间树。其中,每个结点旁边的数字表示该结点所对应 的当前路长 4 9○ ○12 ○6 i8 k 705 14 108
7 6.2 单源最短路径问题 下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最短路径问题 产生的解空间树。其中，每一个结点旁边的数字表示该结点所对应 的当前路长
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 62单源最短路径问题 2.算法思想 解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极小堆来存 储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。 算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后,它的 U子结点被依次插入堆中。此后,算法从堆中取出具有最小当前 路长的结点作为当前扩展结点,并依次检查与当前扩展结点相邻 的所有顶点。如果从当前扩展结点倒顶点有边可达,且从源出 发,途经顶点再到顶忘的所相应的路径的长度小于当前最优路 径长度,则将该页点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个 结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止
8 6.2 单源最短路径问题 2. 算法思想 解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极小堆来存 储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。 算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它的 儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前 路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻 的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出 发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路 径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个 结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 62单源最短路径问题 3.剪枝策略 在算法扩展结点的过程中,一旦发现一个结点的下界不小于 当前找到的最短路长,则算法剪去以该结点为根的子树。 在算法中,利用结点间的控制关系进行剪枝。从源顶点s出发 2条不同路径到达图G的同一顶点。由于两条路径的路长不同,因 此可以将路长长的路径所对应的树中的结点为根的子树剪去
9 6.2 单源最短路径问题 3. 剪枝策略 在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结点的下界不小于 当前找到的最短路长，则算法剪去以该结点为根的子树。 在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。从源顶点s出发， 2条不同路径到达图G的同一顶点。由于两条路径的路长不同，因 此可以将路长长的路径所对应的树中的结点为根的子树剪去
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 62单源最短路径问题 while(true ∥搜索问题的解空间 for(int j=1; j<=n: j++) f(a[enode ij[ Float MAX VALUE & enode length+[. i[l distLD ∥顶点到顶点j可达,且满足控制约束 disti=enode. length+a[enode iLl 顶点利和间有边,且此路 plilFenode. 1; 径长小于原先从原点到 的路径长 HeapNode node new HeapNode(j, distiL heap. put(node);∥加入活结点优先队列 if (heap is Empty) break; else enode =(HeapNode) heap. removeMinO
10 6.2 单源最短路径问题 while (true) { // 搜索问题的解空间 for (int j=1;j<=n;j++) if(a[enode.i][j] < Float.MAX_VALUE && enode.length+a[enode.i][j] < dist[j]) { // 顶点i到顶点j可达，且满足控制约束 dist[j]=enode.length+a[enode.i][j]; p[j]=enode.i; HeapNode node = new HeapNode(j,dist[j]); heap.put(node); // 加入活结点优先队列 } if (heap.isEmpty()) break; else enode = (HeapNode) heap.removeMin(); } 顶点I和j间有边，且此路 径长小于原先从原点到j 的路径长