同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（3-4）初等矩阵

矩的初等变换与传性方程组 第四节初等矩阵 初等矩阵的概念 >二、初等矩阵的应用 小结思考题 帮助四

、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛 庄定义,由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 1.对调两行或两列; 2以数k≠0乘某行或某列; 王3以数k乘某行(列)加到另行(列)上去

定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 一、初等矩阵的概念       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

l、对调两行或两列 对调E中第,两行,即(分T,得初等方阵 ←第i行 1 E(,)= ←第j行 上页

对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj )，得初等方阵 1、对调两行或两列                                   = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行

用m阶初等矩阵Em()左乘A=(an)m,得 11 12 n ←第i行 En()A=:: an←第j行 2 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i行与第j行对调G分 上页

用m 阶初等矩阵Em (i, j) 左乘 A = (aij)mn，得                       = m m mn i i in j j jn n m a a a a a a a a a a a a E i j A              1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( , )  第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换：

类似地, 以n阶初等矩阵En(i,右乘矩阵A, 11 In AE.(i 21 2 2 n (i,j)= 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第列与第j列对调(e分c 上页

以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 类似地， n En (i, j) A               = m mj mi mn j i n j i n n a a a a a a a a a a a a AE i j              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换：

2、以数k≠0乘某行或某列 以数k≠0乘单位矩阵的第i行(rxk)得初等 矩阵E(i(k) E(i(k)) ←第i行 上页

2、以数 k  0 乘某行或某列 ( ( )). 0 ( ) E i k k i ri k 矩阵 以数  乘单位矩阵的第 行  ，得初等                       = 1 1 1 1 ( ( ))   E i k k  第 i 行

以En(i(k)左乘矩阵A, 11 12 En(1k)A= kaka2kan←第i行 m2 nn 相当于以数k乘A的第i行(r×k); 类似地,以En(i(k)右乘矩阵A,其结果 相当于以数k乘A的第i列(c1×k) 上页

相当于以数 k 乘 A的第 i 行 (ri  k)；                 = m m mn i i in n m a a a ka ka ka a a a E i k A          1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( ( ))  第 i 行 类似地， 以 Em (i(k))左乘矩阵A， ( ). ( ( )) k A i c k E i k A i n 相当于以数 乘 的第 列  以 右乘 矩阵 ，其结果

3.以数k≠乘某行列加到另一行列上去 以k乘E的第j行加到第i行上(r1+kr;) 王或以k乘E的第列加到第/列上(+6c) k 第行 E(i(k)) 1 ←第行 王页下

3、以数k  0乘某行(列)加到另一行(列)上 去 或以 乘 的第 列加到第 列上 ， 以 乘 的第 行加到第 行上 [ ( ) ( ) j i i j k E i j c kc k E j i r kr + +                       = 1 1 1 1 ( ( ))     k E ij k  第i行  第j行

以En((k)左乘矩阵A, 12 n ai+;l i2+ kai2 a. +a Em( (a m2 把A的第j行乘k加到第i行上(G+kr) 上页

以 Em (ij(k))左乘矩阵A，                       + + + = m m m n j j jn i j i j in jn n m a a a a a a a ka a ka a a a a a E ij k A              1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 ( ( )) ( ). i j 把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 r + kr

类似地,以En((k)右乘矩阵A,其结果相当于 把A的第冽乘k加到第j列上(c1+kc) AEn(j(K) li +ka lj 21 a:+k J n m1…am+kamy…a m n 上页

( ). ( ( )) j i n A i k j c kc E ij k A 把 的第 列乘 加到第 列上 + 类似地，以 右乘矩阵 ，其结果相当于               + + + = m mi mj mj mn i j j n i j j n n a a ka a a a a ka a a a a ka a a AE ij k              1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ( ))