同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 相似矩陈及二次型（5-6）用配方法化二次型成标准形

似矩藤及二次 第六节用配方法化二次型成标准形 > 格朗日配方法的具体步骤 小结思考题 帮助四

一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形,其特点是保 持几何形状不变. 问题有没有其它方法,也可以把二次型化 为标准形? 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法 上页

一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变． 问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．

拉格朗日配方法的步骤 若二次型含有x的平方项,则先把含有 x的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同 样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线 性变换,就得到标准形 2.若二次型中不含有平方项,但是an≠0 中(≠则先作可逆线性变换 Ci- y 牛{x=y+y1(=12…,n且≠ 牛化二次型为含有平方项的二次型,然后再按中方 法配方 上页

1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; i x xi      = = + = − k k j i j i i j x y x y y x y y (k = 1,2,  ,n且k  i, j) 拉格朗日配方法的步骤 2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 aij  0 (i  j), 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方

例1化二次型 f=x1+2x2+5x3+2x1x2+2x1x3+6x2X 为标准形,并求所用的变换矩阵 解 含有平方项含有x的项配方 ∫=网2x+5+2千么xx3+6x2x +4122+2x,x2+2x2+5x2+6x2x3 =(x+x2+x)2去掉配方后多出来的项 x2-x3-2x2x+2x2+5x3+6x2x3 上页

解 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x , . 2 5 2 2 6 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 为标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x + x + x + x x + x x + x x 例1 1 2 1 3 2 x1 + 2x x + 2x x 2 3 2 3 2 = + 2x2 + 5x + 6x x 含有平方项 含有 x1的项配方 = ( ) 2 1 2 3 x + x + x 2 3 2 3 2 2 + 2x + 5x + 6x x 2 3 2 3 2 2 − x − x − 2x x 去掉配方后多出来的项

=(x1+x2+x3)+x2+4x2+4x =(x1+x2+x)+(x2+2x3) y1=x1+x2+ 1=y1-y2+y 令n2=x2+23→{x2=y2-2y J3=x3 3=J3 C1 11 台x2=101-2 00 y3 上页

( ) 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 = x + x + x + x + 4x + 4x x ( ) ( 2 ) . 2 2 3 2 1 2 3 = x + x + x + x + x      = = + = + + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 y x y x x y x x x 令      = = − = − +  3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 x y x y y x y y y                     − − =            3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 y y y x x x

f=x2+2x2+5x3+2x1x2+2x1x3+6x2x3 十 所用变换矩阵为 C=01-2,(c=1≠0 001 上页

1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2  f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x . 2 2 2 1 = y + y 所用变换矩阵为 , ( 1 0). 0 0 1 0 1 2 1 1 1 =            − − C = C

例2化二次型 f=2x1x2+2x1x3-6x2x3 成标准形,并求所用的变换矩阵 解由于所给二次型中无平方项,所以 x1=y1+y2 1 110 V1 令 x2=y1-y2 即x 0y2 3=y3 x3)(001八y 王代入厂=2x2+2x一6x写, 得=2y2-2y2-4yy3+8y2y3 上页

, 3 3 2 1 2 1 1 2      = = − = + x y x y y x y y 令 解 2 2 6 , x1 x2 x1 x3 x2 x3 代入 f = + − 2 2 4 8 . 1 3 2 3 2 2 2 1 得 f = y − y − y y + y y , . 2 2 6 1 2 1 3 2 3 成标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x x + x x − x x 例2 由于所给二次型中无平方项，所以                               = −           y y y x x x 3 2 1 3 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 即

再配方,得 f=2(V1-y3)-2(V2-23)+6y 令 y 1 1 0 二42 3 y2 2 Z 2 y 3 J 0 3 得 f 2 z 2 6 z 3 上

再配方，得 2( ) 2( 2 ) 6 . 2 3 2 2 3 2 1 3 f = y − y − y − y + y      = = − = − 3 3 2 2 3 1 1 3 2 z y z y y z y y 令 2 , 3 3 2 2 3 1 1 3      = = + = +  y z y z z y z z 2 2 6 . 2 3 2 2 2 1 得 f = z − z + z                               =           z z z y y y 3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1 即

所用变换矩阵为 110/101 C=1-10012 001人001 113 =|1-1-1(c=-2≠0) 001 上页

所用变换矩阵为                     = − 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 C . 0 0 1 1 1 1 1 1 3           = − − (C = −2  0)

生二、小结 将一个二次型化为标准形,可以用正交变换 法,也可以用拉格朗日配方法,或者其它方法, 这取决于问题的要求.如果要求找出一个正交矩 阵,无疑应使用正交变换法;如果只需要找出 个可逆的线性变换,那么各种方法都可以使用 正交变换法的好处是有固定的步骤,可以按部就 工工工 班一步一步地求解,但计算量通常较大;如果二 次型中变量个数较少,使用拉格朗日配方法反而 比较简单.需要注意的是,使用不同的方法,所 得到的标准形可能不相同,但标准形中含有的项 数必定相同,项数等于所给二次型的秩. 上页

二、小结 将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．