线性实间与线性变换 第二节维数、基与坐标 线性空间的基与维数 >二、元素在给定基下的坐标 线性空间的同构 >四、小结思考题 帮助四
生一、线性空间的基与维数 已知:在R中,线性无关的向量组最多由n 生个向量组成,而任意+1个向量都是线性相关的 庄问题:线性空间的一个重要特征在线性空 间中,最多能有多少线性无关的向量? 上页
一、线性空间的基与维数 已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的． R n n n + 1 问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义1在线性空间中,如果存在n个元素 1502990n 满足: (1)a1 1929 cn线性无关 (2)V中任一元素a总可由a1,a2,,n线性 表示, 那末,ax1,a2,…,an就称为线性空间/的一个 基,n称为线性空间的维数. 上页
(1) , , , ; 1 2 n线性无关 , . , , , , 1 2 基 称为线性空间 的维 数 那 末 就称为线性空间 的一个 n V n V , (2) , , , 1 2 表 示 V中任一元素总可由 n线 性 定义１ 在线性空间 中，如果存在 n 个元素 n , , , 1 2 满足： V
维数为n的线性空间称为n维线性空间记作l n 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关 的向量时,就称V是无限维的 若an1,a2…,an为V的一个基则Vn可表示为 王V==xa1+xa2+…+x以x1,,,x∈R 上页
, . 维数为n的线性空间称为n 维线性空间 记作Vn 若1 , 2 , , n为Vn的一个基,则Vn可表示为 Vn = = x11 + x22 ++ xnn x1 , x2 , , xn R 当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的． V V
生二、元素在给定基下的坐标 定义2设a1,a2,…,a,是线性空间的一个基对 于任一元素a∈Vn,总有且仅有一组有序 数 19299n 使 C=x11+x2O2+…+xnn 有序数组x,”x称为元素在1,…以这个 基下的坐标,并记作a=(x1,x2…,xn)y 上页
, = x11 + x2 2 ++ xn n , ( , , , ) . , , , , , , 1 2 1 2 1 2 n T n n x x x x x x = 基下的坐标 并记作 有序数组 称为元素 在 这 个 数 使 于任一元素 总有且仅有一组有序 设 是线性空间 的一个基 对 , , , , , , , , , 1 2 1 2 n n n n x x x V V 定义２ 二、元素在给定基下的坐标
例1在线性空间Pxl4中,P1=1,P2=x,P3=x2,D4 =x3,n3=x4就是它的一个基 任一不超过4次的多项式 P=a4xta3x +a2xtalxtao 可表示为 P=aoP+a2 P3+ a3 P4+a4 p5 因此p在这个基下的坐标为 01,2394 上页
, . [ ] , 1, , , 4 5 3 4 2 4 1 2 3 就是它的一个基 在线性空间 中 x p x P x p p x p x p = = 例 1 = = = p a x a x a x a1 x a0 2 2 3 3 4 4 4 = + + + + 任一不超过 次的多项式 p a p a p a p a p a p 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 = + + + + 可表示为 ( , , , , ) a0 a1 a2 a3 a4 p T 因此 在这个基下的坐标为
若取另一基q1=1,q2=1+x,q3=2x2,q4=x, Aqs=x:,则 P=(aoa1)1+a142+,a243+a3q4+a4q5 A因此尸在这个基下的坐标为 T (ao=ai a1a2, a3, a4) 工工工 注意线性空间的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同,一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的 上页
注意 则 若取另一基 , 1, 1 , 2 , , 4 5 3 4 2 1 2 3 q x q q x q x q x = = = + = = p a a q a q a q a q a q 0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 = ( − ) + + + + , , ) 2 1 ( , , a0 a1 a1 a2 a3 a4 p T − 因此 在这个基下的坐标为 线性空间 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的． V
例2所有二阶实矩阵组成的集合V,对于矩阵 的加法和数量乘法,构成实数域R上的一个线性 空间.对于V中的矩阵 0\E 01 E11= 00 00 00 00 0 E21= E22= 10 有 k1E1+k2E12+k3E21+k4E2= k3 kk 上页
= = = = 0 1 0 0 , 1 0 0 0 , 0 0 0 1 , 0 0 1 0 2 1 2 2 1 1 1 2 E E E E , 3 4 1 2 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 2 2 + + + = k k k k k E k E k E k E 有 例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性 空间．对于 中的矩阵 V V R
因此 k1E1+k2E12+k3E21+k;E=O(00 00 今 k1=k2=k3=k3=0, EI 912921922 2线性无关 对于任意二阶实矩阵 1112 A= 2122 上页
, 0 0 0 0 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 2 2 k E + k E + k E + k E = O = 因此 , 2 1 2 2 1 1 1 2 V a a a a A = 对于任意二阶实矩阵 0, k1 = k2 = k3 = k3 = , , , . 即E1 1 E1 2 E2 1 E2 2线性无关
有 A=a1E1+a1E1+a21E21+a2E22 王因此EnE,E2nE为的一组基 而矩阵A在这组基下的坐标是 工工工 1112,2122) 上页
, , , . 因此 E1 1 E1 2 E2 1 E2 2为V的一组基 A a1 1E1 1 a1 2E1 2 a2 1E2 1 a2 2E2 2 = + + + 有 ( , , , ) . a1 1 a1 2 a2 1 a2 2 A T 而矩阵 在这组基下的坐标是