第六章.线性代数方程组的数值解 ☆ Gauss消去法 ◆矩阵三角分解法 ◆对称矩阵的平方根法 今三对角方程组的追赶法 ☆向量与矩阵范数及方程组的性态 ☆解线性方程组的迭代法 今分快迭代法
第六章. 线性代数方程组的数值解 ❖Gauss 消去法 ❖矩阵三角分解法 ❖对称矩阵的平方根法 ❖三对角方程组的追赶法 ❖向量与矩阵范数及方程组的性态 ❖解线性方程组的迭代法 ❖分快迭代法
§1引言 n阶线性方程组: a1x1+a12x2+…+a1xn=b1 aixi+anx,++a2nx.b2 anxi+anx,++amx,=b 可以表示成矩阵形式:AX=b A=(a),x=(a1,…,xn),b=(b1,…,b
§1.引言 n阶线性方程组： 可以表示成矩阵形式： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = AX b = ( ) , X , 1 1 T ij n n T A n n = = = a (x (b , , ) , , ) x b b
如果线性方程组的系数行列式不为零,即det4)≠0, 则该方程组有唯一解。由克莱姆( Cramer)法则,其解为 det(a (i=1,2,…,n) det(a) 这种方法需要计算n+1个m阶行列式并作n次除法,而每个 n阶行列式计算需作(n-1)×n次乘法,计算量十分惊人。 如n=30需31×29×30!=2.38×1035次乘法。可见其在理论 上是绝对正确,但在n较大时,在实际计算中确实不可行的
35 det( ) 0, det( ) ( 1,2, , ) det( ) 1 ( 1) ! 30, 2.38 10 i i A A x i n n A n n n n n n = = + = − 每个 如果线性方程组的系数行列式不为零，即 则该方程组有唯一解。由克莱姆(Cramer)法则，其解为 这种方法需要计算 个 阶行列式并作 次除法，而 阶行列式计算需作 次乘法，计算量十分惊人。 如 需31 29 30!= 次乘法。可见其 n 在理论 上是绝对正确，但在 较大时，在实际计算中确实不可行的
解线性方程组的两类方法 ◆直接法:经过有限次运算后可求得方程组 精确解的方法(不计舍入误差!) ◆迭代法:从解的某个近似值出发,通过 构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。 般有限步内得不到精确解)
解线性方程组的两类方法： ❖直接法: 经过有限次运算后可求得方程组 精确解的方法(不计舍入误差! ） ❖迭代法：从解的某个近似值出发，通过 构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。 （一般有限步内得不到精确解)
§2. Gauss消去法 ☆简单消去法 ◆Gaus顺序消去法的可行性及计算量 ◆矩阵的三角分解法 主元素消去法 ☆ Gauss-Jordan列主元消去法
§2. Gauss 消去法 ❖简单消去法 ❖Gauss顺序消去法的可行性及计算量 ❖矩阵的三角分解法 ❖主元素消去法 ❖Gauss-Jordan列主元消去法
、简单消去法 将n阶线性方程组转化为等价(或同解)的 三角形方程组 bux+ b b b +b2nxn=g b 的过程称为消元过程,逐次求出xn,xn=1…,x1 的步骤称为回代过程
一、简单消去法 将n阶线性方程组转化为等价（或同解）的 三角形方程组 11 1 12 2 1 1 22 2 2 2 n n n n nn n n b x b x b x g b x b x g b x g + + + + + = = = 1 1 , , , n n x x x 的过程称为消元过程，逐次求出 − 的步骤称为回代过程
Gauss消去法计算过程 统一记号 a b,→>b 原方程为 A"x=bA=(a9)b0=(b10,…,b
Gauss 消去法计算过程: 统一记号 (1 1 ) ( ) ij ij i i a a b b , → → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 T ij X , , n A A = = = b b a b b , , 原方程为
Step 1假设a≠0 (第二行一(第一行)a2/m→(新第二行) 第三行)-(第一行)×am/am→(新第三行) 第行)=(第一行)xam/(am→(新第行) 相当于第价方程第一个方程x数→新的第厉 程同解!第一方程不动
(1) 11 a 0 ( ) ( ) 1 1 31 11 ( ( ) ( ) 第三行)− → 第一行 a a 新第三行 ( ) 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) n 第n n 行 − → （第一行） a a 新第 行 相当于第i个方程-第一个方程×数→新的第i方 程—同解！第一方程不动！ ( ) 1 1 21 11 ( ) ( ) ( ) 第二行 − → （第一行） a a 新第二行 Step1 假设
上述消元过程除第一个方程不变以外,第2 第n个方程全消去了变量x1,而系数和常数 项全得到新值 aux+,+taux=b (2) 22x2+a23x3+…+a2xn=b2 (2) (2) (2) a32 2ta33x C nxn=b n2x2+an3x3+…+amxn=b (2)
上述消元过程除第一个方程不变以外,第2— 第n个方程全消去了变量 1，而系数和常数 项全得到新值： (1) (1) (1) (1) (1) 11 1 12 2 13 3 1 1 (2) (2) (2) (2) 22 2 23 3 2 2 (2) (2) (2) (2) 32 2 33 3 3 3 (2) (2) 2 2 3 3 n n n n n n n n a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b a x a x + + + + = + + + = + + + = + + (2) (2) a x b nn n n + =
得到同解方程组为AX=b2 其中 C112 b 0 22 a2n b (2) b a b 1a0,)=b0-b 2.3
2 2 A X = （ ） （ ） b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 11 12 1 1 2 2 2 2 (2) 22 2 2 2 2 2 2 0 0 n ( ) n n nn n a a a b a a b A b a a b = = ， (2 1 1 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a l a ,b b l b , ij ij i j i i i = − = − 1 1 1 1 i j , , ,n , 2 3 = 得到同解方程组为 其中 (1 1 ) ( ) i i 1 1 11 l a a =