§5 Hermite插值公式 ☆ Hermite插值问题的提出 ◆三次 Hermite插值 插值基函数构造法 满足插值条件的牛顿插值法 误差估计 ◆2n+1次 Hermite插值多项式
§5 Hermite 插值公式 ❖ Hermite插值问题的提出 ❖ 三次 Hermite 插值 插值基函数构造法 满足插值条件的牛顿插值法 误差估计 ❖2n+1 次Hermite 插值多项式
1.升evwe插值问题的提出 由于理论与实践的需要,在构造插值函数 时,不但要求在节点上函数值相等,而且 还要求它的(高阶)导数值也相等(即要 求在节点上具有一定的光滑度),使得插 值函数与被插函数贴近程度更好,满足这 种要求的插值多项式就是 Hermite插值多 项式,有时也称为具有重节点插值或切触 插值。下面具体讨论三次情形
1. Hermite插值问题的提出 由于理论与实践的需要，在构造插值函数 时，不但要求在节点上函数值相等，而且 还要求它的（高阶）导数值也相等（即要 求在节点上具有一定的光滑度），使得插 值函数与被插函数贴近程度更好，满足这 种要求的插值多项式就是Hermite 插值多 项式，有时也称为具有重节点插值或切触 插值。下面具体讨论三次情形
2.次升evme插值 问题:求作三次多项式H3(x),使之满足 H3(x)=y,H(x)=y,i=01(2) 称之为两点三次 Hermite插值问题,称满足 插值条件(21)的H3(x)为三次 Hermite插 值多项式。下面采用构造基函数及牛顿插 值的方法来确定多项式H3(x)
2. 三次 Hermite 插值 问题：求作三次多项式 ，使之满足： 称之为两点三次Hermite插值问题，称满足 插值条件（2.1）的 为三次 Hermite 插 值多项式。下面采用构造基函数及牛顿插 值的方法来确定多项式 。 H x y H x y i 3 3 ( i i i i ) , , 0,1 2.1 ( ) ( ) = = = ( ) H x 3 ( ) H x 3 H x 3 ( )
2.1基函数构造法 构造基函数q(x)v(x)(=0),使之满足 0,i≠j g(x)=0(=0. v() 则 H3(x)=y9(x)+wg(x)+y6(x)+y1(x) 即为所求
2.1 基函数构造法 构造基函数 使之满足 则 即为所求。 i i ( x x i ), 0,1 , ( )( = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, , 0 0,1 , 0, , 0 0,1 i j ij i j i j ij i j i j x x i i j x x i = = = = = = = = H x y x y x y x y x 3 0 0 1 1 0 0 1 1 ( ) = + + + ( ) ( ) ( ) ( )
由插值条件,有 (x)=1,y(x)=0 (22) 0 0 2. 由(23)可设 a(x)=(x-x)[a(x-x)+b] 再由(22)可求得 b
由插值条件，有 由（2.3）可设 再由（2.2）可求得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 0 1 1, 0 2.2 0, 0 , 2.3 x x x x = = = = ( ) ( ) ( ) 2 0 1 0 x x x a x x b = − − + , ( ) ( ) 2 3 1 0 1 0 1 2 b a , x x x x = = − −
2 x-x Po(x 1+2 同理可得 X- +2 X-xI XI 0(x)=(x-x) X-X (x)=(x-x) X-x x x1
同理可得 ( ) 2 1 0 0 0 1 1 0 1 2 , x x x x x x x x x − − = + − − ( ) 2 0 1 1 1 0 0 1 1 2 , x x x x x x x x x − − = + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 , . x x x x x x x x x x x x x x − − = − = − − −
特别的,在x=0,x=1时,得到以区间 [O端点为插值条件得三次 Hermite插 值多项式 H3(x)=y9(x)+w9(x)+y6(x)+y1(x) 其中 +2 3-2. X(X xx
特别的，在 时，得到以区间 端点为插值条件得三次Hermite 插 值多项式： 其中 0 1 x x = = 0, 1 H x y x y x y x y x 3 0 0 1 1 0 0 1 1 ( ) = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 x x x x x x = − + = − 1 1 2 , 3 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 x x x x x x = − = − 1 , 1 , 0,1
22Mewn插值法 满足插值条件(2.1)式得插值问题可视为 重节点 Newton插值问题,且 f(x)=y,f(x)=y=/[x1,x]=0.1 则 H3()=f(o)+(x-xo[o xo]+(x-xo)flo, xo,xI +(x-x)(x-x)/[x2x2x,x]
2.2 Newton 插值法 满足插值条件（2.1）式得插值问题可视为 重节点Newton插值问题，且 则 f x y f x y f x x i ( i i i i i i ) , , , 0,1 ( ) = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 1 , , , , , , H x f x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x x = + − + − + − −
其中各阶差商可由定义直接求得,即 f[x,x]=f"(x)=1,[x1,x]=f(x1)=y f[xo xo, x, y(x-xo DoX.d.x [(x1-x)(y+1)-2(y-y)
其中各阶差商可由定义直接求得，即 f x x f x y f x x f x y 0 0 0 0 1 1 1 1 , , , = = = = ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 ( )( ) ( ) 3 1 0 1 f x x x x x x y y y y , , , 2 x x = − + − − − ( ) 0 0 1 1 0 1 0 ( ) 2 1 0 1 f x x x y y y x x , , x x = − − − −
23误差估计 由 Newton插值法,可直接得到三次 Hermite 插值问题的截断误差为 R(x)=f(r),(r) =(x-xo)(r-x)fx, xo, Io, x, x, x-xx-x c∈ 于是有下述定理
2.3 误差估计 由Newton插值法，可直接得到三次Hermite 插值问题的截断误差为： 于是有下述定理 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 0 1 0 0 1 1 4 2 2 0 1 0 1 , , , , , , 4 ! R x f x H x x x x x f x x x x x f x x x x x x = − = − − = − −