s4 Newton插值公式 令差分及其性质 令差商及其性质 今 Newton插值公式及误差估计 ◆拉格朗日插值与牛顿插值的比较 今等距节点的 Newton向前插值公式 等距节点的 Newton向后插值公式
§4 Newton插值公式 ❖ 差分及其性质 ❖ 差商及其性质 ❖ Newton插值公式及误差估计 ❖ 拉格朗日插值与牛顿插值的比较 ❖ 等距节点的Newton向前插值公式 ❖ 等距节点的Newton向后插值公式
1差分及其性质 插值节点为等距节点 x=x+hh,k=0,1,…,n 如右图所示 h h h n-In h称为步长,函数y=f(x)在节点处的函数 值为=f(x
1.差分及其性质 插值节点为等距节点： 如右图所示 h称为步长，函数 在节点处的函数 值为 0 , , , , 0 1 k x x kh k n = + = 0 x 1 x n x 1 x n−1 x h h h y f x = ( ) ( ). k k f f x =
11差分的概念 一阶向前差分M=1-f 阶向后差分W=-1 阶中心差分8=/(x+M2)-(x4-2) n阶向前差分A"=△f+-△
1.1 差分的概念 一阶向前差分 一阶向后差分 一阶中心差分 n 阶向前差分 k k k 1 f f f = − + k k k 1 f f f = − − ( 2 2 ) ( ) k k k f f x h f x h = + − − 1 1 1 n n n k k k f f f − − = − +
k+2 k+1 k+1 同理可以定义V”。△称为向前差分 算子,v表示向后差分算子,O表示中心差 分算子,如果用函数表上的值,一阶中心 差分应写成 f=fa-f,sfi=fr -fK k
如 同理可以定义 。Δ称为向前差分 算子，▽表示向后差分算子， 表示中心差 分算子，如果用函数表上的值，一阶中心 差分应写成 , n n k k f f 1 1 1 1 2 2 , k k k k k k f f f f f f + − + − = − = − 2 1 2 1 1 ( ) ( ) k k k k k k k f f f f f f f = − = − − − + + + +
除差分算子外,常用的算子符号还有 不变算子=f移位算子EE=f 由上面各种算子的定义可得算子间的关系 Afr =fkl -fk= efk-1=(e-nfu 可得 △=E-1
除差分算子外，常用的算子符号还有： 不变算子I: ;移位算子E： 由上面各种算子的定义可得算子间的关系： 由 可得 k k If f = Ef f k k = +1 1 ( ) k k k k k k f f f Ef If E I f = − = − = − + = − E I
1.2差分的性质(步长均为h) 性质1:各阶差分均可用函数值表示, A=(E-my=∑(1E"=∑ym V=(1-Ey=∑(1) (wp=2(/) k+j-n Af=M41--Mk=(f+2-f1)-(f-f) k+2 2f,+ k+1 k
1.2差分的性质（步长均为h） 性质1: 各阶差分均可用函数值表示， 如 0 0 ( ) ( 1) ( 1) n n n n j n j j k k k n k j j j n n f E I f E f f j j − + − = = = − = − = − 1 0 0 ( ) ( 1) ( 1) n n n n n j j n n j k k k k j n j j n n f I E f E f f j j − − − − + − = = = − = − = − 2 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( 2 ) k k k k k k k k k k f f f f f f f f f f + + + + + + = − = − − − = − +
性质2可用各阶差分表示函数值。 (x+m)=Ef(x)=(+△yf(x)=∑2△f(x) 性质3:设P(x)是n次多项式 P八(x)=a+a1x+…+a1x 则有 n-—k次多项式,kn
性质2: 可用各阶差分表示函数值。 性质3: 设 是 n 次多项式， 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) n n n j j n f x nh E f x I f x f x j = + = = + = ( ) 0 1 n P x a a x a x n n = + + + ( ) P x n ( ( )) 0 , !, , k n n n n k k n P x a h n k n k n − = = 次多项式
性质4:各种差分之间可以互化 V"fk=△"fk-m Vf4=V4-V=f4-2/3+f2=43-42=△f2=△f42 2.差商定义及其性质
性质4: 各种差分之间可以互化。 如 2. 差商定义及其性质 m m k k m f f = − 2 2 2 4 4 3 4 3 2 3 2 2 4 2 f f f f f f f f f f 2 = − = − + = − = = −
2差商的定义 对于具有n+1个插值点的情况,可把插 值多项式P(x)表示为 P(x)=a0+a(x-x)+a2(x-x0(x-x)+ +an(x-x0)…(x-xn) 其中,¨如n为待定系数,可由插值条件 P(x)=f g 确定
2.1 差商的定义 对于具有n+1个插值点的情况，可把插 值多项式 表示为 其中 为待定系数，可由插值条件 确定。 ( ) 0 1 0 2 0 1 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2.1 n n n P x a a x x a x x x x a x x x x − = + − + − − + + − − ( ) P x n 0 1 , , , n a a a( ) ( 0,1, , ) P x f j n n j j = =
由 0 P(X=ao+a,(x-xo)=f a+alx )+a2(x2-x0)(x2-x1)=f2 得 f1-f6 2
由得 0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) nnn P x a f P x a a x x f P x a a x x a x x x x f = = = + − = = + − + − − = a f 0 0 = ， 1 0 1 1 0 f f a x x − = − ， 2 0 1 0 2 0 1 0 2 2 1 f f f f x x x x a x x − − − − − = −