目录 第一章行列式 §1.1行列式的概念 §1.2行列式的性质 8 §1.3行列式的展开计算. 1.4 Cramer法则 第二章矩阵运算 2.1矩阵的概念.. 222 §2.2矩阵的线性运算及乘法运算.. §2.3转置矩阵及方阵的行列式 §2.4方阵的逆矩阵. §2.5分块矩阵 330 第三章初等变换与线性方程组 §3.1初等变换化简矩阵 §3.2初等矩阵 §3.3矩阵的秩 §3.4求解线性方程组—— Gauss消元法. 第四章向量组的线性相关性, §4.1向量组的线性相关性 §4.2向量组的极大线性无关组及秩 64 §4.3向量空间介绍 §4.4线性方程组的解的结构.. 74 第五章特征问题及二次型 §5.1方矩阵的特征值与特征向量.82 §5.2方阵A相似于对角矩阵 §5.3二次型的标准形 90 §5.4正交变换化二次型为标准形 §5.5二次型正定性
目 录 第一章 行列式................................................... 1 §1.1 行列式的概念............................................ 1 §1.2 行列式的性质............................................ 8 §1.3 行列式的展开计算 ........................................ 12 §1.4 Cramer 法则 ............................................. 21 第二章 矩阵运算................................................. 27 §2.1 矩阵的概念.............................................. 27 §2.2 矩阵的线性运算及乘法运算 ................................ 27 §2.3 转置矩阵及方阵的行列式 .................................. 34 §2.4 方阵的逆矩阵............................................ 36 §2.5 分块矩阵................................................ 40 第三章 初等变换与线性方程组 ..................................... 45 §3.1 初等变换化简矩阵 ........................................ 45 §3.2 初等矩阵................................................ 48 §3.3 矩阵的秩................................................ 50 §3.4 求解线性方程组——Gauss 消元法........................... 54 第四章 向量组的线性相关性 ....................................... 59 §4.1 向量组的线性相关性 ...................................... 59 §4.2 向量组的极大线性无关组及秩 .............................. 64 §4.3 向量空间介绍............................................ 69 §4.4 线性方程组的解的结构 .................................... 74 第五章 特征问题及二次型......................................... 82 §5.1 方矩阵的特征值与特征向量 ................................ 82 §5.2 方阵 A 相似于对角矩阵 .................................... 86 §5.3 二次型的标准形.......................................... 90 §5.4 正交变换化二次型为标准形 ................................ 95 §5.5 二次型正定性............................................ 99
第一章行列式 Arthur Cayley(1821-1895,英国)——矩阵论的创立者。在剑桥 获数学荣誉会考一等第一名,并获得 Smith奖,从事n维解析几何, 行列式理论,线性变换和矩阵等方面的研究。 James, Joseph sylvester(1814--1897,犹太人),矩阵论的创立 者。在剑桥,获数学荣誉会考一等第二名。他开创了美国纯数学研究, 创办了《美国数学杂志》。从事行列式,矩阵论,组合数学等方面研 究 §1行列式的概念 [学习要求] 1)会用对角线法计算二、三阶行列式 2)会求排列的逆序及奇偶性 3)理解n阶行列式定义 、二,三阶行列式的计算 1)求平面两直线交点 1x1+a12x2=b1 a21X1+a2)x bz2 消去x2,解出x得 11022 )x1=6a22-b2a
1 第一章 行列式 Arthur Cayley（1821-1895，英国）——矩阵论的创立者。在剑桥， 获数学荣誉会考一等第一名，并获得 Smith 奖，从事 n 维解析几何， 行列式理论，线性变换和矩阵等方面的研究。 James, Joseph Sylvester（1814——1897，犹太人），矩阵论的创立 者。在剑桥，获数学荣誉会考一等第二名。他开创了美国纯数学研究， 创办了《美国数学杂志》。从事行列式，矩阵论，组合数学等方面研 究。 §1 行列式的概念 [学习要求] 1）会用对角线法计算二、三阶行列式 2）会求排列的逆序及奇偶性 3）理解 n 阶行列式定义 一、二，三阶行列式的计算 1）求平面两直线交点 + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 消去 2 x ，解出 1 x 得 11 22 12 21 1 1 22 2 12 (a a − a a )x = b a −b a
M 记D ad 副对角线主对角线 阶行列式等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积。 12 则有 b =b2a1-b4a21 a21b2 交点:x1 2 其中D≠0 D 2)求三平面的交点 a1x1+a12x2+a13x3=b1 diX, t aox+ aox2= x2+ a33x by3 消 解出x得 Dx1=D1(设D≠0) 其中 D a1.222+a1a2a +a2a242-a13a2a31-ah2a21a33-a1(23432
2 记 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = − 副对角线 主对角线 二阶行列式等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积。 则有 1 22 2 12 2 22 1 12 1 b a b a b a b a D = = − 2 11 1 21 21 2 11 1 2 b a b a a b a b D = = − 交点： D D x D D x 2 2 1 1 = , = ，其中 D 0 2）求三平面的交点 + + = + + = + + = 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 消 2 3 x , x ，解出 1 x 得 Dx1 = D1 （设 D 0 ） 其中 11 22 33 12 23 31 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a D = = + + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 － +
对角线计算法 三阶行列式D由6项组成,每项是位于D中不同行不同列的三元 素之积,并按一定规则带有正号或负号。主对角线上三元素之积及平 行于主对角线上三元素之积的项带正号,副对角线上三元素之积及平 行于副对角线上三元素之积的项带负号。 则记D=b2a2a2 6,a22a33+a12a23b3+a13b2a32 13a22b3-a1252a33-b,a 得 D 同理有 D x1+2x2-2x3=2 例 3x1+2x2+x3=-5 2x1+5x+x2=0 解:D=32 27 D1=54,D2=-27,D3=27
3 对角线计算法 三阶行列式 D 由 6 项组成，每项是位于 D 中不同行不同列的三元 素之积，并按一定规则带有正号或负号。主对角线上三元素之积及平 行于主对角线上三元素之积的项带正号，副对角线上三元素之积及平 行于副对角线上三元素之积的项带负号。 则记 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 b a a b a a b a a D = = b1a22a33 + a12a23b3 + a13b2a32 − a13a22b3 − a12b2 a33 − b1 a23a32 得 D D x 1 1 = 。 同理有 , . 3 3 2 2 D D x D D x = = 例 1： + + = + + = − + − = 2 5 0 3 2 5 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 解： 27 2 5 1 3 2 1 1 2 2 = − − D = D1 = 54, D2 = −27, D3 = 27
得 D D [注意]对角线法不适于3阶以上的行列式。 3)分析三阶行列式的规律: ①每项:每项为三元素之积,三元素取之不同行不同列。 ②项数:3!=6项 ③符号:与每项三元素的所在的列下标三个数字的排列有关。即 与自然排列123对换为此排列的次数有关 排列 123 231 312 321 132 213 对换次数0 2 2 奇偶性 偶 奇 带符号 正 负 将对换次数转化为下面求排列的逆序问题 二、排列的逆序与奇偶性 n个自然数1,2,……,n的一个排列,称为一个n元排列。记为 i2…in。共有川个排列 庭义们一个排列12…y……中,两个数字n,的 小与位置相反,称这两个数字构成一个逆序,排列中所有数字的逆序 个数的总和就称为该排列的逆序数。记为z2…n 计算法]」从排列的右边起,每一个数字与其左边的数字逐个比
4 得： 2, 1 1 = = − D D x 1, 2 2 = = D D x 1. 3 3 = = − D D x [注意] 对角线法不适于 3 阶以上的行列式。 3）分析三阶行列式的规律： ①每项：每项为三元素之积，三元素取之不同行不同列。 ②项数： 3！= 6项 ③符号：与每项三元素的所在的列下标三个数字的排列有关。即 与自然排列 123 对换为此排列的次数有关。 排列 123 231 312 321 132 213 对换次数 0 2 2 1 1 1 奇偶性 偶 奇 带符号 正 负 将对换次数转化为下面求排列的逆序问题。 二、排列的逆序与奇偶性 n 个自然数 1，2， ，n 的一个排列，称为一个 n 元排列。记为 n i i i 1 2 。共有 n! 个排列。 定义 1 一个排列 p q n i i i i i 1 2 中，两个数字 p i ， q i 的大 小与位置相反，称这两个数字构成一个逆序，排列中所有数字的逆序 个数的总和就称为该排列的逆序数。记为 [ ] 1 2 n i i i 。 计算法 从排列的右边起，每一个数字与其左边的数字逐个比
较,即先将第n个数字与前面n-1个数字比较求得第n个数字的逆 序,再将第n-1个数字与前面的n-2个数字比较,求得第n-1个数 字逆序,继续之,得所有数字逆序总和就是该排列的逆序数 例2:求下列各排列的逆序数 1)[264351=9(奇) 2)[214356]=2(偶) 3)[12……n]=0(偶) 4k (偶) n(n-1)4k+1(偶) 4)z[nn-1…21]= 4k+2(奇) 4k+3(奇) 定义21一个排列的逆序数为奇(偶)数,称为该排列为奇(偶) 排列。 定义3」一个排列中两数字位置互换,其余数字不动,称为一次 对换,相邻两数字的对换,称为邻换 定理]一次对换改变排列的奇偶性 (即偶次对换不变奇偶性,奇次对换改变奇偶性) 将一个n元排列对换成为自然排列123…n有多种方法,得到 的逆序数可以不同,但其奇偶性却不变。 推论1:一个n元排列对换为自然排列12…n,对换次数的奇 偶性与该排列的奇偶性相同
5 较，即先将第 n 个数字与前面 n −1 个数字比较求得第 n 个数字的逆 序，再将第 n −1 个数字与前面的 n − 2 个数字比较，求得第 n −1 个数 字逆序，继续之，得所有数字逆序总和就是该排列的逆序数。 例 2：求下列各排列的逆序数。 1） [264351] = 9 （奇） 2） [214356] = 2 （偶） 3） [12n] = 0 （偶） 4） + + + = − − = 4 3 ( ) 4 2 ( ) 4 1 ( ) 4 ( ) , 2 ( 1) [ 1 2 1] 奇 奇 偶 偶 k k k k n n n n n 定义 2 一个排列的逆序数为奇（偶）数，称为该排列为奇（偶） 排列。 定义 3 一个排列中两数字位置互换，其余数字不动，称为一次 对换，相邻两数字的对换，称为邻换。 定理 一次对换改变排列的奇偶性 （即偶次对换不变奇偶性，奇次对换改变奇偶性） 将一个 n 元排列对换成为自然排列 1 2 3n 有多种方法，得到 的逆序数可以不同，但其奇偶性却不变。 推论 1：一个 n 元排列对换为自然排列 1 2 n ，对换次数的奇 偶性与该排列的奇偶性相同
推论2:所有n元排列的奇偶性个数各半。 、n阶行列式定义 12 定义 nI 2 r[ii2…in [i2…inl i2 D 是一个数,称为n阶行列式,简记为 n×n (1)每项n个元素之积a1n2…amn中的n元取之不同行不同 (2)共有n!项。 T (3)符号由(-1) 决定的。 (4)∑表示把对应的!个项加起来 [i2…in] 显然若D的一行(列)元素都为0,则D=0。 例3:上,下三角行列式及对角行列式的值。 (1)
6 推论 2：所有 n 元排列的奇偶性个数各半。 三、 n 阶行列式定义 定义 4 n n n n n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = ( 1) . 1 2 1 2 1 2 1 2 [ ] [ ] i i in n n n i i i i i i a a a = − 是一个数，称为 n 阶行列式，简记为 n n D aij = （1）每项 n 个元素之积 in a i a i an 1 2 1 2 中的 n 元取之不同行不同 列。 （2）共有 n! 项。 （3）符号由 [ ] 1 2 ( 1) n i i i − 决定的。 （4） [ ] 1 2 n i i i 表示把对应的 n! 个项加起来。 显然若 D 的一行（列）元素都为 0，则 D = 0。 例 3：上，下三角行列式及对角行列式的值。 （1） nn a a a * * 22 11
下三角行列式 22 2 上三角行列式 对角行列式 =a1422am=∏an(∏表示连乘号) L= 例4(1)决定4阶行列式中项a232412a14的符号。 (2)求j的值,使得4阶行列式a2a1a4a3带负号 解:(1)a23a41a3214→)a14a23a32a41,计算列下标逆序 z[4321=3+2+1=6 该项带正号。 2)a231n4143-a1n233/41,列下标排列为3 得1=2,j=4,或i=4,j=2,因为 [2341]=3+0+0+0=3 故得i=2,j=4 说明:行列式的另一定义为 D a,1a,n…a [i2…n] (列下标按自然顺序)
7 下三角行列式 n n an n a a a a a 22 11 22 11 * * = = 上三角行列式 对角行列式 ii n i nn a a a a 1 11 22 = = = （ 表示连乘号） 例 4（1）决定 4 阶行列式中项 a23a41a32 a14 的符号。 （2）求 i, j 的值，使得 4 阶行列式 a23a1ia41a3 j 带负号。 解：（1） 23 41 32 14 14 23 32 41 a a a a → a a a a ，计算列下标逆序。 [4321] = 3+ 2 +1 = 6 该项带正号。 （2） a23a1i a41a3 j → a1i a23a3 j a41 ，列下标排列为 i3 j1， 得 i = 2, j = 4 ，或 i = 4, j = 2 ，因为 [2341] = 3+ 0 + 0 + 0 = 3 故得 i = 2, j = 4. 说明：行列式的另一定义为 i i i n i i i i i i n n i n D a a a 1 2 [ ] [ ] 1 2 1 2 2 = (−1) （列下标按自然顺序）
§1.2行列式的性质 [学习要求]:掌握行列式的性质,运用行列式性质化简行列式 本节是对行列式进行变换化简,以便简化计算 行列式的五个性质: 1)转置不变值,即D=D 2)拆开 3)数乘(提取因子) 4)对换变号 行列式的初等变换 5)消元(倍加)不变值。 两个零推论 ①D的两行(列)相同,则D=0。 ②D的两行(列)元素成比例,则D=0。 例1:(1)D1 45 (2)D2=254 201402605 解:(1)D1=2×453=2×3×45 36
8 §1.2 行列式的性质 [学习要求]：掌握行列式的性质，运用行列式性质化简行列式。 本节是对行列式进行变换化简，以便简化计算。 行列式的五个性质： 1）转置不变值，即 D D T = 2）拆开 3）数乘（提取因子） 4）对换变号 行列式的初等变换 5）消元（倍加）不变值。 两个零推论 ① D 的两行（列）相同，则 D = 0。 ② D 的两行（列）元素成比例，则 D = 0。 例 1：（1） 0 1 9 4 5 3 2 4 6 D1 = （2） 201 402 605 2 5 4 1 2 3 D2 = 解：（1） 36 0 1 3 4 5 1 1 2 1 2 3 0 1 9 4 5 3 1 2 3 D1 = 2 = = −
123 200 (2) D2=254 254=2 201402605 1-3 例2:计算 01 1-1-33 2141 解: 027-3 0145 1-1-33 0145 027 00-2-20 (-1) 00-1-13 0006 y1x1+2y2x1+3y3 例3计算D=x2+yx2+2y2x2+3y3 x3+y1x3+2y2x3+3y3 解:将第一列拆开为
9 （2） 2 1 2 5 2 5 4 1 2 3 201 402 605 2 5 4 1 2 3 D2 = = = 例 2：计算 0 1 4 5 2 0 1 3 2 1 4 1 1 −1 − 3 3 解： 0 1 4 5 0 2 7 3 0 3 10 5 1 1 3 3 0 1 4 5 2 0 1 3 2 1 4 1 1 1 3 3 − − − − = − − 0 3 10 5 0 2 7 3 0 1 4 5 1 1 3 3 ( 1) − − − − = − 0 0 2 20 0 0 1 13 0 1 4 5 1 1 3 3 ( 1) − − − − − − = − 6 0 0 0 6 0 0 1 13 0 1 4 5 1 1 3 3 ( 1) = − − − − = − 例 3 计算 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3 x y x y x y x y x y x y x y x y x y D + + + + + + + + + = 解：将第一列拆开为 -200 − 2 −3 − 2 − 2 − 2
