方向号数与梯度 实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是 (1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火 焰,它使金属板受热.假定板上任意一点处的温 度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有一个 蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到 达较凉快的地点? 问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方 向(即梯度方向)爬行
方向导数与梯度 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火 焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温 度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个 蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到 达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．
方向导数的定义 讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某 方向的变化率问题 设函数z=f(x,y)在点 P(x,y)的某一邻域U(P 内有定义,自点P引射线L 设x轴正向到射线l的转角 为q,并设P(x+△x,y+△y)0 为l上的另一点且P∈U(p)
一、方向导数的定义 讨论函数 在一点P沿某一 方向的变化率问题． z = f (x, y) 内有定义，自点 引射线 ． 的某一邻域 设函数 在点 P l P x y U P z f x y ( , ) ( ) = ( , ) ( ). , ( , ) l P U p P x x y y x l + + 为 上的另一点且 为 并设 设 轴正向到射线 的转角 o y x l • P x y • P •
PP|=p=√(△x)2+(△Ay)2 且△z=f(x+△x,y+4y)-f(x,y), 考虑,当P沿着趋于P时, im(x+,y+Ay)-f(x,)是否存在? P→ 定义函数的增量∫(x+△x,y+合y)-∫(x,y)与 PP两点间的距离尸=(△x)2+(△Ay)2之比值, 当P沿着l趋于P时,如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点P沿方向L的方向导数
| PP |= ( ) ( ) , 2 2 = x + y 且 z = f (x + x, y + y) − f (x, y), , z 考虑 当 P 沿着 l 趋于 P 时， ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → 是否存在？ 则称这极限为函数在点 沿方向 的方向导数． 当 沿着 趋于 时，如果此比的极限存在， 两点间的距离 之比值， 定义 函数的增量 与 P l P l P PP x y f x x y y f x y = + + + − 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , )
记为9 f(x+△x,y+4y)-∫(x,y) 0 依定义,函数f(x,y)在点P沿着x轴正向1={,0}、 y轴正向e2={0,1的方向导数分别为fx,f 沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是-fx,-Jy 方向导数的几何意义 af(o, yo im ∫(x0+4x,y+卹y)-f(x0,y0) Ax→>0
记为 . ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → 依定义，函数 f (x, y)在点P 沿着x 轴正向 {1,0} e1 = 、 y轴正向 {0,1} e2 = 的方向导数分别为 x y f , f ； 沿着x轴负向、y 轴负向的方向导数是 x y − f ,− f . 方向导数的几何意义 ( , ) ( , ) lim ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 f x x y y f x y l f x y x + + − = →
过直线 0+A 作平行于z轴的平面兀 + 与曲面z=f(X,y)所交的曲线记为C 在m考察CPP的方向与对应 f(xn+A,Jn+4)-f(xn,)表示C的割线向量 PP与的交角的正切值即PP关于的斜率 当p→0时即(x0+A,V0+4)→(x,y) 割线转化为切线
= + = + y y y x x x 0 过直线 0 作平行于 z 轴的平面 与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C 在上考察C P P的方向与l对应 0 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y + y − f x y 表示C 的割线向量 P P与l的交角的正切值 0 即 P P关于l的斜率 0 当 → 0时 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 即 x + x y + y → x y 割线转化为切线
上式极限存在就意味着当点 (xo+ 4x, yo+ 4y) 趋于点(x,y) 曲线C在点P0有唯一的切线 它关于L方向的斜率 就是方向导数 af al (x0,y) 0 M
上式极限存在就意味着当点 ( , ) 0 0 x + x y + y ( , ) 0 0 趋于点 x y 曲线C在点 P0 有唯一的切线 它关于 l 方向的斜率 就是方向导数 ( , ) 0 0 x y l f L C M0 P0 T P M l
定理如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分 的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都 存在,且育afaf af coS(+sIn ay 其中为x轴到方向L的转角 证明由于函数可微,则增量可表示为 af f(x+Ax,y+4y)-∫(x,y)=△+Δy+0(p) ax 两边同除以P,得到
定理 如果函数z = f ( x, y)在点P( x, y)是可微分 的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都 存在，且有 cos sin y f x f l f + = ， 其中 为x 轴到方向 L 的转角． 证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o( ) y f x x f f x x y y f x y + + + + − = 两边同除以 , 得到
f(x+4x,y+ 4y)-f(x, y) af Ax, af Ay, o(p) ax 故有方向导数 sin pp 伍m∫(x+△x,y+△y v)-f(x,y) af coS P+osin p. ax O 例1求函数z=xe2在点P(,0)处沿从点 P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数
( , ) ( , ) y o( ) y x f x f x x y y f x y f + + = + + − 故有方向导数 = l f ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → cos sin. y f x f + = cos sin 例 1 求函数 y z xe 2 = 在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点Q(2,−1)的方向的方向导数
解这里方向即为PQ={1,-1}, 故x轴到方向的转角φ T z7 e 1; az Ox(:0) (1,0) =2re 2, (1,0) 所求方向导数 z cos(-)+2sin( al 2 例2求函数∫(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1) 沿与x轴方向夹角为的方向射线的方向导数并 问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?
解 这里方向l 即为PQ = {1,−1}, 故x轴到方向l 的转角 4 = − . 1; (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2, (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 所求方向导数= l z ) 4 ) 2sin( 4 cos( + − − . 2 2 = − 例 2 求函数 2 2 f (x, y) = x − xy + y 在点（1，1） 沿与x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
解由方向导数的计算公式知 f (1, 1)cosa+f (1, 1 sina al (2x-y)la cosa+(2y-x) sIna T c0Sa+sina=√2sin(+,) 故 (1)当α=,时,方向导数达到最大值√2; (2)当a=5时,方向导数达到最小值√2 (3)当①=3和①=7时,方向导数等于0
解 由方向导数的计算公式知 (1,1)cos (1,1)sin (1,1) x y f f l f = + (2 ) cos (2 ) sin , (1,1) (1,1) = x − y + y − x = cos + sin ), 4 2sin( = + 故 （1）当 4 = 时，方向导数达到最大值 2; （2）当 4 5 = 时，方向导数达到最小值− 2 ; （3）当 4 3 = 和 4 7 = 时， 方向导数等于 0