定积分的几何应用 、平面图形的面积 1直角坐标系 作为一般情况讨论,设平面图形由[a,b 上连续的两条曲线y=f(x)与y=g(x (f(x)≥g(x)及两条直线x=x=b所围成 在{a,b]上任取典型小区间[xx+dx 与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量d4
定积分的几何应用 一、平面图形的面积 1 直角坐标系 作为一般情况讨论，设平面图形由 [ a , b ] 上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) ( f (x) g(x)) 及两条直线 x =a ,x =b 所围成 在 [a ,b ] 上任取典型小区间[ x ,x+dx ] 与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dA
当d很小时 y=∫(x) dA可用高为f(x)-g(x) 底为dx的矩形面积 近似表示即 (x) dA=lf(x)-g(r)dr 故A=j0x)-g(x)k
dA 可用高为 f (x) − g(x) 底为 dx 的矩形面积 近似表示 即 dA = [ f (x) − g(x)]dx 故 = − b a A [ f (x) g(x)]dx a b y = f (x) y = g(x) x x + dx 当 dx 很小时
例1求两曲线y= x2+1 y=x 所围成的图形的面积 解为确定图形的存在区间 由联立方程组解得交点A(-1,1)B(1,1) x∈ ≥y2 x2+1 故A= 2 Ddx 1+1 (2arctanx 3
1 2 2 + = x y 2 y = x 所围成的图形的面积 解 为确定图形的存在区间 由联立方程组解得交点 A（-1，1） B（1，1） x [−1,1] 2 2 1 2 x x + 故 − − + = 1 1 2 2 ) 1 2 ( x dx x A 1 1 3 ) 3 1 = (2arctan − − x x 3 2 = − 例1 求两曲线
例2计算y2=2xy=x-4所围图形的面积 解首先定出图形所在的范围 y2=2x解得交点为(2,-2)和(8,4) y=x-4 若取x为积分变量在[xx+dx上取部分量 则对于x的不同值局部量的位置不同其 上、下曲边有多种情况运用上述公式计算 较为复杂 如下图
y 2x 2 = y = x − 4 所围图形的面积 解 首先定出图形所在的范围 y x y x 2 4 2 = = − 解得交点为（2，-2）和（8，4） 若取 x 为积分变量 在 [x,x+dx] 上取部分量 则对于 x 的不同值局部量的位置不同 其 上、下曲边有多种情况运用上述公式计算 较为复杂 如下图 例2 计算
但若将这一面积看作是分布在区间[2,4上 以y为变量计算将会简单 在[-2,4上任取一小区间[y,y+d 其上相应的窄条左、右曲边分别为 x=y2,x=y+4 →A=|(+4-y2)dy=18 2
以 y 为变量计算将会简单 在[-2,4] 上任取一小区间 [ y, y + dy] 其上相应的窄条左、右曲边分别为 , 4 2 1 2 x = y x = y + ) 18 2 1 ( 4 2 4 2 = + − = − A y y dy 但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2，4] 上
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体 特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化 上述问题的一般情况是 r=y(y 平面区域由|cd1上连续的曲线 x=o(y),x=y(y) o(ysyly) C 及直线y=cy=d所围成 =() 则其面积为A=(y)-g(p)小y
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体 特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化 上述问题的一般情况是 平面区域由 [c,d] 上连续的曲线 x = ( y), x = ( y) (( y) ( y)) 及直线y = c ,y = d 所围成 则其面积为 = − d c A [( y) ( y)]dy c d y + dy y x = ( y) x = ( y)
当直角坐标系下的平面区域的边界曲线 由参数方程的形式给出时,只须对面积计算 公式作变量代换即可 (astsB y=() A=yd= iw(p'(0)dt I 计算时应注意积分限在换元中应保持与原积 分限相对应
当直角坐标系下的平面区域的边界曲线 由参数方程的形式给出时，只须对面积计算 公式作变量代换即可。 ( t ) = = b a A ydx t t dt | ( ) ( ) | 计算时应注意积分限在换元中应保持与原积 分限相对应。 = = ( ) ( ) y t x t
x=acos e 例3求椭圆 y=bsin 8 (0≤≤2)的面积 解由对称性面积A等于椭圆在第一象限内的 部分的面积的4倍 0 -4 2 0d0= rab 2
例3 求椭圆 = = sin cos y b x a (0 2 ) 的面积 解 由对称性 面积A等于椭圆在第一象限内的 部分的面积的4倍 即 = a A ydx 0 4 = − = 0 2 2 4 sin ab d ab
例4设f(x)在[a,b上连续,在(a,b)内有 f(x)>0证明存在唯一的5∈(a,b) 使曲线∫(x)与两直线X=ay=f(5) 所围图形的面积S,是y=f(x)与两直线 x=by=f(5)所围图形面积S2的3倍 证 S1=f(5)-f(x)f() S2=If(x) -f(s)]dx
设 f ( x ) 在 [ a ,b ] 上连续，在 ( a, b ) 内有 f (x) 0 证明 存在唯一的 (a,b) 使曲线 f（x ）与两直线 x = a y = f ( ) 所围图形的面积 S1 是 y = f ( x ) 与两直线 x = b y = f ( ) 所围图形面积 S2 的3倍 f ( ) S1 证 S2 = − a S [ f ( ) f (x)]dx 1 = − b S f x f dx [ ( ) ( )] 2 例4
令F()=0/()-f(x)k-30(x)-f(o 则F()=(0()J(xk-J(x)+3/b-0) F(a)=-3f(x)-f(a)dx0 故由零点定理知3∈(,6)上()=0又 F()=f(t)(t-a+3b-3t)=f(t)(b-a+2(b-1)>0 故ξ唯一
= − − − t a b t F(t) [ f (t) f (x)]dx 3 [ f (x) f (t)]dx = − − − + − t a b t 则F(t) f (t)(t a) f (x)dx 3 f (x)dx 3 f (t)(b t) = − − b a F(a) 3 [ f (x) f (a)]dx 0 = − b a F(b) [ f (b) f (x)]dx 0 故由零点定理知 (a,b) 使F( ) = 0 又 F(t) = f (t)(t − a + 3b − 3t) = f (t)(b − a + 2(b − t)) 0 故 唯一 令