北京邮电大学：《复变函数》课程教学资源（讲义）第四章 级数

第四章级数 November 7. 2006

1oÙ ?ê November 7, 2006 1/54

主要内容 理解复数项级数和复交函数项级数的基本概念和性质

̇SN 1. n)Eê‘?êÚEC¼ê‘?êÄVgÚ5Ÿ. 2. n)?êÚâK?ê$ŽÚñÑ5. 3. ݺò)Û¼êm¤V?êÚâK?ê{. 2/54

主要内容 1.理解复数项级数和复变函数项级数的基本概念和性质. 2.理解幂级数和洛朗级数的运算和敛散性 3.掌握将解析函数展开成泰勒级数和洛级数的方法 2/54

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主要内容 1.理解复数项级数和复变函数项级数的基本概念和性质 2.理解幂级数和洛朗级数的运算和敛散性

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主要内容 1.理解复数项级数和复变函数项级数的基本概念和性质 2.理解幂级数和洛朗级数的运算和敛散性 3.掌握将解析函数展开成泰概级数和洛朗级数的方法 2/54

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第一节复数项级数 1.复数列的极限 设{an}(n=1,2,…)为幂复数列,其中an=an+ibn又 设α=a+i为幂确定的复数.如果v>0,彐N(=)>0,使得当n>N 时,有 Jan -al 那么称a是复数列{an}当n→∞时的极限,记作 lim an=a

1! Eê‘?ê 1. Eê4  {αn}(n = 1, 2, · · · ) ǑEê, Ù¥ αn = an + ibn. q  α = a + ib Ǒ(½Eê. XJ ∀ε > 0, ∃N(ε) > 0,  n > N ž, k |αn − α| < ε, o¡ α ´Eê {αn}  n → ∞ ž4, PŠ limn→∞ αn = α. 3/54

定理一复数列{an}(n=1,2,……)收敛于a的充要条件是 lim an a, lim bn= b n→。 证(略)

½n Eê {αn}(n = 1, 2, · · · ) Âñu α ¿‡^‡´ limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b. y (Ñ) 4/54

例1判别数列an=(2)的收敛性

~ 1 Oê αn =  1 + i 2 n Âñ5. ) Äk©) αn = an + bni, ,￾©O an Ú bn 4, 2( ½ αn ñÑ5. ÏǑ  1 + i 2 n = "√ 2 2  cos π 4 + isinπ 4  #n = 1 2 n/2  cos nπ 4 + isinnπ 4  . ¿… limn→∞ 1 2 n/2 cos nπ 4 = 0, limn→∞ 1 2 n/2 sin nπ 4 = 0. ¤± αn =  1 + i 2 n Âñ". 5/54

例1判别数列an= 2 的收敛性. 解首先分解αn=an+bni,然后分別考察an和bn的极限,再确 定cn的敛散性

~ 1 Oê αn =  1 + i 2 n Âñ5. ) Äk©) αn = an + bni, ,￾©O an Ú bn 4, 2( ½ αn ñÑ5. ÏǑ  1 + i 2 n = "√ 2 2  cos π 4 + isinπ 4  #n = 1 2 n/2  cos nπ 4 + isinnπ 4  . ¿… limn→∞ 1 2 n/2 cos nπ 4 = 0, limn→∞ 1 2 n/2 sin nπ 4 = 0. ¤± αn =  1 + i 2 n Âñ". 5/54

例1判别数列an= 2 的收敛性 解首先分解αn=αn+bni,然后分别考察an和bn的极限,再确 定cn的敛散性 因为 cos-+isin. 2n/2(Cos+ising

~ 1 Oê αn =  1 + i 2 n Âñ5. ) Äk©) αn = an + bni, ,￾©O an Ú bn 4, 2( ½ αn ñÑ5. ÏǑ  1 + i 2 n = "√ 2 2  cos π 4 + isinπ 4  #n = 1 2 n/2  cos nπ 4 + isinnπ 4  . ¿… limn→∞ 1 2 n/2 cos nπ 4 = 0, limn→∞ 1 2 n/2 sin nπ 4 = 0. ¤± αn =  1 + i 2 n Âñ". 5/54