可证,在一定条件下,基本QR方法产生的矩阵序 列{A()}“基本”收敛于一个上三角阵(或分块上 三角阵)。即主对角线(或主对角线子块)及其以下 元素均收敛,主对角线(或主对角线子块)以上元素 可以不收敛。特别的,如果A是实对称阵,则{A()} “基本”收敛于对角矩阵。 因为上三角阵的主对角元(或分块上三角阵中, 主对角线子块的特征值)即为该矩阵的特征值,故当k 充分大时,A()的主对角元(或主对角线子块的特征 值)就可以作为A的特征值的近似 (4)-2)=0 基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解,分 解的方法有多种。介绍一种Schm正交化方法
可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序 列｛A(k)｝ “基本”收敛于一个上三角阵（或分块上 三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下 元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素 可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则｛A(k)｝ “基本”收敛于对角矩阵。 因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中， 主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k 充分大时， A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征 值）就可以作为A的特征值的近似。 基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解，分 解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法。 ( ) ( ) 0 k A u − =
设A为mˉ阶非奇异实矩阵,记A=[a12a2…,an,其中 )(j=1,2,…,n) Exb,a,/,. b2=a-a, b 6=an al (a2a4)(a2a)(a12a1 0 a.a ila h⊥b2取b2=b2则=临=1.(,b2)=0 般地取b=4-∑(a2b为,b=b/(k=2,3…n) 则向量组bb2…,b正交,且 1(k=1,2,…n) 即ak=(a,b)b+…+(a4b1-)b-+|1
1 2 1 2 ' 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ' 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ' ' ' 1 2 2 2 2 1 2 [ , , , ], ( , , , ) ( 1, 2, , ). , / . , , , , , , 0 , , / , 1 n T j j j nj A n A a a a a a a a j n a a b a a b a a b b a a a a a a a a a a a a a b b a a a a a a b b b b b b b = = = = = − = − = − = − = ⊥ = = = 设 为 阶非奇异实矩阵，记 其中 取 取 则 1 2 1 ' ' ' 1 1 2 ' 1 1 1 1 , , 0. , , / ( 2,3, ) , , , 1 ( 1, 2, ) , , k k k k i i k k k i n k k k k k k k k b b b a a b b b b b k n b b b b k n a a b b a b b b b − = − − = = − = = = = = + + + 一般地取 则向量组 正交，且 即
即ak=(akb)b1+…+(ab-)b2-1+|bb 于是A=[a12a2…,an]=[b1,b2…,bn a1‖(a2b1 Kan,b,) b2‖ b OR b‖ 这就是用 Schmit正交化方法对矩阵进行的QR分解。 基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法,计算 量大,而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列 相似变换将A化成拟上三角矩阵(称为上 Hessenberg矩阵),然 后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素, 故可减少运算量。化A为相似的拟上三角阵的方法有多种
' 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ' 2 2 ' 1 1 ' , , [ , , , ] [ , , , ] , , , , QR k k k k k k k n n n n n n n n a a b b a b b b b A a a a b b b a a b a b b a b QR b a b b Schmit − − − − = + + + = = = 即 于是 这就是用 正交化方法对矩阵进行的 分解。 基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算 量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列 相似变换将A化成拟上三角矩阵（称为上Hessenberg矩阵），然 后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素， 故可减少运算量。化A为相似的拟上三角阵的方法有多种
2-10 例用 Schmit正交化方法对A=-12 进行QR分解 0 解:a1=(2,-1,0),a2=(-12,-1),a3=(0,-1,2) 因而有b √5√5 0) b2=a2-(a2,b)b=(-12,-1)+层( /3·√ 0) 1) 55 36 70√70 70 246 (a32b〉b-(a2b2)b2 123 √14~√4√14
1 2 3 1 1 1 2 ' 2 2 2 1 1 ' 2 2 ' 2 2 2 1 0 : 1 2 1 . 0 1 2 : (2, 1,0) , ( 1,2, 1) , (0, 1,2) . 2 1 ( , ,0) , 5 5 4 2 1 3 6 , ( 1,2, 1) ( , ,0) ( , , 1) , 5 5 5 5 5 3 6 5 ( , , ) , 70 70 70 T T T T T T T T Schmit A QR a a a a b a b a a b b b b b b − = − − − = − = − − = − = = − = − = − − + − = − = = − 例用 正交化方法对 进行 分解 解 因而有 ' 3 3 3 1 1 3 2 2 ' 3 3 ' 3 2 2 4 6 , , ( , , ) 777 1 2 3 ( , , ) 14 14 14 T T a a b b a b b b b b = − − = = =
所以A=[a12a2…an]=[b2b2…,bn] (a,b) (a,b 2) 1bm-l( a, bm-1, 3/701454/515 J√56/√72√4‖070/5-16/70 s/703√400240/7
1 2 1 2 1 2 1 1 ' 2 2 ' 1 1 ' [ , , , ] [ , , , ] , , , , 2 5 3 70 1 14 5 4 5 1 5 1 5 6 70 2 14 0 70 5 16 70 0 5 70 3 14 0 0 2 40 7 n n n n n n n n A a a a b b b a a b a b b a b b a b b − − = = − = − − − 所以
豪斯豪尔德( Householder变换 设向量=(m…,m)y满足2=+…+m2=1,则称 1-212-211 -21n wow H=I-2ww 2n-2n2…:1-22」 为 Householder矩阵或反射矩阵。可证其具有以下性质: (1)H是实对称的正交矩阵,即H=H=H 2)det(H)=-1; (3)H仅有两个不等的特征值±1,其中是n-1重特征值,-1 是单重特征值,为其相应的特征向量
二、豪斯豪尔德(Householder)变换 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 ( , , ) 1, 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ; (2)det( ) 1; (3) T n n n T n n n n T w w w w w w w w w w w w w w w w H I ww w w w w w Householder H H H H H H − = = + + = − − − − − − = − = − − − = = = − 设向量 满足 则称 为 矩阵或反射矩阵。可证其具有以下性质： （ ） 是实对称的正交矩阵，即 仅 1 1 n 1 , 1 , ; w 有两个不等的特征值 ，其中 是 重特征值 − − 是单重特征值 为其相应的特征向量
(4)考虑以w为法向量过原点o的超平面S:wx=0, 0∈R为任意的数,有H(x+aw)=x-0w 证:H=-21w且b =√w2+…+w=1 H(x+Ow)=(I-2ww)(x+Ow x+ow-2wWx-20ww y x+0w-20=x-0w
2 2 2 1 : 0, , ( ) . 2 1 ( ) ( 2 )( ) 2 2 2 T T n T T T w o S w x R H x w x w H I ww w w w H x w I ww x w x w ww x ww w x w w x w = + = − = − = + + = + = − + = + − − = + − = − (4)考虑以 为法向量过原点 的超平面 为任意的数 有 证： 且 w o x
定理设x,y为R中任意非零向量,且|yl2=1,则存在 Householder矩阵H,使得x=±|xl2y 证:w x-(±|x|2y) 令H=1-2112,于是 Hx=(1-2wv)x=x-2x平小xy3|x2y)x x)y 2 由2一范数的定义|x王y2=(xx2y)(x2y xxix x'y+xyy xx2 x+x=2(xfx)y)x 代入上式得Fx=±|xl2y
( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : , , 1, , ( ) 2 , ( 2 ) 2 ( ) . 2 ( ) ( ) = n T T T T T T T x y R y Householder H Hx x y x x y w H I ww x x y x x y Hx I ww x x x x y x x x y x x y x x y x x y x x x y x = = − = = − = − = − = 定理 设 为 中任意非零向量 且 则存在 矩阵 使得 。 证： 令 于是 由 －范数的定义. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) . T T T T T T x x y x y y x x x y x x x x y x Hx x y + = + = 代入上式得 =
上式得Hx=±|x2y 此定理表明,对任一非零向量x,都可以构造 一个 Householder变换,它将x变成事先给定的单位 向量的倍数。特别地取y=e,则x经过 Householder 变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时, 为避免误差取 x-(±x,y)→ x+l,e sign(x Ix Ill x 2e sign(x )l
2 2 2 2 2 2 2 . , , ( ) ( ) ( ) i i i i i Hx x y x Householder x y e x Householder x x y x x e sign x w w x x y x x e sign x = = − + = = + 上式得 此定理表明，对任一非零向量 都可以构造 一个 变换，它将 变成事先给定的单位 向量的倍数。特别地取 则 经过 变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时， 为避免误差取
