同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 线性空间与线性变换（6-3）基变换与坐标变换

线性实间与线性变换 第三节基变换与坐标变换 > 其变换公式与过渡矩阵 >二、坐标变换公式 >三、小结思考题 帮助四

生一、基变换公式与过渡矩阵 问题:在n维线性空间V中,任意n个线性 无关的向量都可以作为V的一组基.对于不同的 基,同一个向量的坐标是不同的 那么,同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢?换句话说,随着基的改变,向量的坐 标如何改变呢? 上页

一、基变换公式与过渡矩阵 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？ 问题：在 维线性空间 中，任意 个线性 无关的向量都可以作为 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的． n V V n

设a1,a2,…,an及月1,B2,…,B是线性空间v的 两个基且有 P=Pua,+ p2ra2+.+Pna B2=Pua,+p22a2+.+pna B,=pina+ p2na2+ .+puna 称此公式为基变换公式 上页

两个基 且 有 设 及 是线性空间 的 , , , , , , , 1  2   n 1  2   n Vn , 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1        = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n p p p p p p p p p                 称此公式为基变换公式．

B=Pura,+ p2ra2..+pa 由于2=P12a1+P2a2+…+pn2a B, =pun,a+ p2na2+ .. puna B,(Pr 21 Plai B2 Pu2 p 22 n2 今 今P Bn)(nnP2n…p nn n n 上页

       = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n p p p p p p p p p                 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 由于                             =                n n nn n n n n p p p p p p p p p                2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 . 2 1                n T P    

→(B,B2,…,B,)=(a1a2…,an)P 基变换公式 在基变换公式 (月1,B2,…,Bn)=(an1 )P 中,矩阵P称为由基a12,a到基A,2,B的过 渡矩阵 过渡矩阵P是可逆的 上页

 (1 , 2 ,  , n ) = (1 , 2 ,  , n )P 基变换公式 矩阵 称为由基 到基 的过 渡矩阵． ( ) ( ) , , , , , , , 1 2 1 2 中 在基变换公式     n =     n P    n , , , 1 2  n  ,  , ,  P 1 2  过渡矩阵 P 是可逆的．

庄二、坐标变换公式 定理1设Vn中的元素a,在基a1,a2,…an下的坐标 为 1299 在基B1,B2,…,月n下的坐标为 152 n 牛若两个基满足关系式 (月1,B2,…,Bn)=(a1,a2,…,an)P 上页

若两个基满足关系式 (1 , 2 ,  , n ) = (1 , 2 ,  , n )P 二、坐标变换公式 ( ', ', , ') , , , , ( , , , ) , 1 , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 n T n n T n n x x x x x x V     在 基 下的坐标为 为 定 理 设 中的元素 在 基 下的坐标       

则有坐标变换公式 x 或 P : n n n 上页

则有坐标变换公式 , ' ' ' 2 1 2 1               =               n xn x x P x x x   . ' ' ' 2 1 2 1 1               =               − n xn x x P x x x   或

证明 x x1 15a、…0n八 2=(1,B2,…,B2 n (月1,B2,…,Bn)=(x1,a2,…an)P 1902 =(c1 1902 上页

证明 ( )               = n n x x x    2 1 1 2   , , , ( )               = ' ' ' , , , 2 1 1 2 n n x x x      (1 , 2 ,  , n ) = (1 , 2 ,  , n )P ( ) ( ) . ' ' ' , , , , , , 2 1 1 2 2 1 1 2               =                n n n n x x x P x x x          

由于矩阵P可逆,所以

. ' ' ' 2 1 2 1               =               n n x x x P x x x   即 . ' ' ' , 2 1 2 1 1               =               − n n x x x P x x x P   由于矩阵 可逆 所以

例1在P[xl3中取两个基 a1=x3+2x2-x a2=x-x++ a3=-x3+2x2+x+1,a4=-x3-x2+1 及B1=2x3+x2+1,B2=x2+2x+2, B3=-2x3+x2+x+2,B4=x3+3x2+x+2, 求坐标变换公式 解将B1,B2,B3,B4用a1a23,a4表示 牛因为(a1,a2a3,a)=(x,x,x) (B1,B2,月3,月4=(x3,x2,x,1)B, 上页

. 2 2, 3 2, 2 1, 2 2, 2 1, 1, 2 , 1, [ ] 3 2 4 3 2 3 2 2 3 2 1 3 2 4 3 2 3 3 2 2 3 2 1 3 求坐标变换公式 及 在 中取两个基 = − + + + = + + + = + + = + + = − + + + = − − + = + − = − + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x P x         例 1 , , , , , , . 解 将 1  2  3  4用1  2  3  4表示 ( , , , ) ( , , ,1) , 3 2 因为 1  2  3  4 = x x x A ( , , , ) ( , , ,1) , 3 2  1  2  3  4 = x x x B