相矩及三次型 第四节对称矩阵的相似矩阵 对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法 >三、小结思考题 帮助四
压~对称矩阵的性质 说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说 明,均指实对称矩阵. 定理1对称矩阵的特征值为实数 证明设复数λ为对称矩阵4的特征值,复向量x为 对应的特征向量, 即 A4x=ax,x≠0. 用表示的共轭复数,表示的共轭复向量, 则Ax=Ax=(4x)=(ax)=元x 上页
定理1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 Ax = x , x 0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) = (x) = x. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． x表示x的共轭复向量
庄于是有x4x=x(4)=xx=x 牛及x4x=(2Ak=(4yx=(yAxx 两式相减,得 -几 xx=0. 但因为x≠0, 王所以xx==x2≠0=(x-x)=0 牛即=元,由此可得是实数 上页
于是有 x Ax T x Ax T 及 x (Ax) T = x x T = x x, T = (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T = x x. T = 两式相减，得 ( − )x x = 0. T 但因为x 0, ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 = = = = n i i n i i i T 所以 x x x x x
定理的意义 由于对称矩阵4的特征值九为实数,所以齐次 线性方程组 (4-a;E)x=0 工工工 是实系数方程组,由A-1E=0知必有实的基础解 系,从而对应的特征向量可以取实向量 上页
定理1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i
定理2设λ,22是对称矩阵4的两个特征值,D1, n2是对应的特征向量若1≠2,则与2正交 庄明1=4,=4,有≠ A对称,A=Ar, 41n1=(1n1)=(41)=n1A=n1A, 于是A1n1P2=n142=n1(2n2)=2nn2 → (1-2)nP2=0 ≠12,∴P1P2=0.即p1与2正交 王页下
, , . 2 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p 证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1 2 A , A A , T 对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T = = , 2 1 p2 p T = ( ) 0. 1 − 2 p1 p2 = T , 1 2 . p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T
定理3设A为n阶对称矩阵4是A的特征方程的r 重根则矩阵A-E的秩R(A-E)=n-r,从而 对应特征值A怡有r个线性无关的特征向量 定理4设4为n阶对称矩阵则必有正交矩陶P,使 PAP=A,其中A是以A的n个特征值为对角元 上素的对角矩阵 证明设4的互不相等的特征值为1,2 王它们的重数依次为2(+万+十7= 根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定 理3(如上)可得: 上页
. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P = − 证明 , , , , 1 2 s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2 . , ( ) , 3 , 对应特征值 恰 有 个线性无关的特征向量 重 根 则矩阵 的 秩 从 而 定 理 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 r A E R A E n r A n A r − − = − ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为
对应特征值元;(i=1,2,…,s,恰有r个线性无 关的实特征向量,把它们正交化并单位化即得r个 单位正交的特征向量.由r+n2+…+r,=n知, 这样的特征向量共可得n个 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交, 故这n个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 PAP=PPA=A 牛其中对角矩阵A的对角元素含个4,…,个,恰 是A的n个特征值 上页
, 由r1 + r2 ++ rs = n知 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， . , , ( 1,2, , ), 单位正交的特征向量 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 对应特征值 恰有 个线性无 r i s r i i = i = = − − P AP P P 1 1 . , , , 1 1 是 的 个特征值 其中对角矩阵 的对角元素含 个 个 恰 A n r r s s 这样的特征向量共可得 n 个. 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
王二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 根据上述结论,利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵,其具体步骤为: 1.求4的特征值; 2.由4-4E)x=0求出4的特征向量; 3.将特征向量正交化; 4.将特征向量单位化 上页
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化. 2. 由(A E)x 0,求出A的特征向量; − i = 1. 求A的特征值;
上例对下列各实对称矩阵,分别求出正交矩阵P, c使PAP为对角阵 2-20 400 (1)A=-21-2,(2)A=031 0-20 013 午解(第一步求4的特征值 2--20 王41-21-x-2=4-:0 2- 得A=4,2=1,3=-2 上页
解 − − − − − − − − = 0 2 2 1 2 2 2 0 A E = (4 − )( −1)( + 2) = 0 4, 1, 2. 得 1 = 2 = 3 = − , 0 2 0 2 1 2 2 2 0 (1) − − − − A = = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 (2) A 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 P AP 为对角阵. −1 P (1)第一步 求 A 的特征值
第二步由(A-4E)x=0,求出4的特征向量 王对42=4由(4-4E)x=0得 2x1+2x,=0 2 生12+35+21=0解之得基础解系52 2x,+4x3=0 对2=1由(4-E)x=0得 x1+2x2=0 2 工工 2x1+2x3=0解之得基础解系52=1 2x2+x3 0 上页
第二步 由(A− iE)x = 0,求出A的特征向量 对 1 = 4,由(A− 4E)x = 0,得 + = + + = + = 2 4 0 2 3 2 0 2 2 0 2 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x 解之得基础解系 . 1 2 2 1 − − = 对 2 = 1,由(A− E)x = 0,得 + = + = − + = 2 0 2 2 0 2 0 2 3 1 3 1 2 x x x x x x 解之得基础解系 . 2 1 2 2 − =
