同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 线性空间与线性变换（6-1）线性空间的定义与性质

线性实间与线性变换 第一节线性空间的定义与性质 > 线性空间的定义 >二、线性空间的性质 子空间 >四、小结思考题 帮助四

一线性空间的定义 一个鏃悬续簪能鹚量琶喬铃懸含雍产:也是 线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是 某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题 看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际 王问题 上页

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 一、线性空间的定义

定义1设T是一个非空集合,R为实数域.如果 对于任意两个元素a,B∈V,总有唯一的一个元 素y∈J与之对应,称为a与B的和,记作 r=a+ B 若对于任一数∈R与任一元素a∈V总有唯 的一个元素δ∈V与之对应,称为与a的积, d=na 上页

 =  +  若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作   R  V  V    =  定义１ 设 是一个非空集合， 为实数域．如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作 , V  V   V R

如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那 么V就称为数域R上的向量空间(或线性空间) 设a,B,y∈V;A,p∈R (1)a+B=B+; (2)(a+B)+y=a+(B+y (3)在中存在零元素0,对任何a∈V,都有 c+0=a; 上页

设,  , V;,  R 0 ; (3) 0, ,    + = 在V中存在零元素 对任何 V 都 有 (1) +  =  +; (2) ( +  )+  = + ( +  ); 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．

(4)对任何a∈V都有a的负元素B∈V,使 a+B=0 (5)1a=a; (6)(a)=(x)x; (7)(+)a=a+uax; (8)x(a+B)=4a+4B. 上页

(5) 1 =; (6) () = (); (8)( +  ) =  +  . (7)( + ) =  + ; 0; (4) , , + =     对任何 V 都 有的负元素 V 使

说明 1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算, 称为线性运算 2.向量空间中的向量不一定是有序数组 3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定 义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条 c性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间 上页

2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间． 说明 1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算， 称为线性运算．

线性空间的判定方法 (1)一个集合,如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对运 算的封闭性 例1实数域上的全体m×n矩阵,对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间,记作RmD 工工工 A +B=C mxn 5 a4…=D xn mxn 5 Rm"是一个线性空间 上页

（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ． mn m n R  ,  Amn + Bmn = Cmn , Amn = Dmn 是一个线性空间. m n R   线性空间的判定方法

例2次数不超过m的多项式的全体,记作P[xn,即 Pxn={P=anx"+…+a1x+a0an,…,a1,ao∈R} 对于通常的多项式加法,数乘多项式的乘法构成向 量空间. 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律 (anx+…+a1x+ao)+(bnx"+…+b1x+b0) =(an+bn)x"+…+(a1+b1)x+(ao+b)∈Pxln (anx+…+a1x+a0) =(4an1)x"+…+(a1)x+(ao)∈Pxln P[xl对运算封闭 上页

. , [ ] { , , , }, , [ ] , 1 0 1 0 量空间 对于通常的多项式加法 数乘多项式的乘法构成向 次数不超过 的多项式的全体 记作 即 P x p a x a x a a a a R n P x n n n n n = = ++ +   例 2 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． ( ) ( ) a x a1 x a0 b x b1 x b0 n n n n ++ + + ++ + ( ) ( ) ( ) a b x a1 b1 x a0 b0 n = n + n ++ + + + P[x]  n ( ) a x a1 x a0 n  n ++ + ( ) ( ) ( ) a x a1 x a0 n =  n ++  +  P[x]  n P[x] 对运算封闭. n

例3n次多项式的全体 Q(xh,=p=anx"+.aix+ao a 15 a∈R,且an≠0} 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 间 0p=0x"+…+0x+0 E ex Qxn对运算不封闭 上页

. , 0} [ ] { , , , 0 1 0 1 间 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 且 次多项式的全体   = = + + + a R a Q x p a x a x a a a n n n n n n   例 3 0 p = 0 x + + 0x + 0 n  Q[x]  n Q[x] 对运算不封闭. n

例4正弦函数的集合 s[x]=(s=Asin(x+B), BE R 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 5, +S2=A sin(x+B)+A2 sin(x+B2) =a, cos x+b, sinx) +a2 cos x+ b2 sin x) =a, + a2)cos x+(b1+b2)sin x =Asin(x+B)∈S|xl 上页

例４ 正弦函数的集合 Sx = s = Asin(x + B)A,B R. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间． ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 s + s = A sin x + B + A sin x + B (a cos x b sin x) (a cos x b sin x) = 1 + 1 + 2 + 2 = (a1 + a2 )cos x + (b1 + b2 )sin x = Asin(x + B)  S[x]