同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 相似矩陈及二次型（5-2）方阵的特征值与特征向量

相矩及三次型 第二节方阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念 >二、恃征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 >四、小结思考题 帮助四

生一、特征值与特征向量的概念 定义1设A是n阶矩阵如果数和n维非零列向量 使关系式 Ax=2x 成立那末这样的数称为方阵A的特征值非零向 量x称为A的对应于特征值λ的特征向量 工工工 说明1.特征向量x≠0,特征值问题是对方阵而言的 2.n阶方阵A4的特征值,就是使齐次线性方程组 (4-aE)x=0有非零解的值,即满足方程4-AE =0的都是矩阵A的特征值 上页

说明 1.特征向量x  0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A E x A E n A     = − = − 一、特征值与特征向量的概念 . , , , 1 , 量 称 为 的对应于特征值 的特征向量 成 立 那 末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定 义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量     x A A Ax x A n n x =

3.A-E=0 12 In 21 22 2n=0 nI n2 称以为未知数的一元m次方程A-E=0 为4的特征方程 记f(4)=A-E,它是的次多项式称其 为方阵4的特征多项式 上页

3. A − E = 0  0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − −    n n nn n n a a a a a a a a a        称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式

4设m阶方阵A=(a)的特征值为λ,2,…, ,则有 (1)A1+2+…+n=a1+a2+…+am (2)12…n=A, 上页

( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij  =    (1) ; 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12  n = A

例1求A=(3-1 的特征值和特征向量 13 解A的特征多项式为 3-4-1 13-4 =(3-x)-1 =8-6元+2=(4-4)(2-) 所以4的特征值为1=2,2=4 当A1=2时,对应的特征向量应满足 3-2 -1(x=) 13-2人x2 上页

解例 1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量   − − A = A的特征多项式为  − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = −  +  = −  −  2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = , 00 1 3 2 3 2 1 2 , 21 1    =   − − − − = xx 当 时 对应的特征向量应满足

x1-x2=0, x1+x2=0. 解得x1=x2,所以对应的特征向量可取为p A当≈4时,由 3-4-1Yx1)(0 1-1(x\≠ 13-4八x2)(0 1-1八x2)(0 牛解得x=-x2,所以对应的特征向量可取为 1 上页

   − + = − = 0. 0, 1 2 1 2 x x x x 即 , 解得x1 = x2 . 1 1 1       所以对应的特征向量可取为 p = , 0 0 1 1 1 1 , 0 0 1 3 4 3 4 1 4 , 2 1 2 1 2        =            − − − −        =            − − − − = x x x x 即 当 时 由 . 1 1 , 2 1 2       − = = − p 解得 x x 所以对应的特征向量可取为

110 王例2求矩阵4=-430的特征值和特征向量 10 解A的特征多项式为 1-元1 0 A-E=-43-x0=(2-4)(-x) 02-4 所以A的特征值为1=2,礼2=3=1 当a1=2时,解方程(A-2E)x=0由 上页

例２ . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 求矩阵 的特征值和特征向量   −− A = 解 (2 )(1 ) , 1 0 2 4 3 0 1 1 0 2       = − − − − − − − A− E = A的特征多项式为2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 = 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由

310 100 A-2E=-410~010, 100丿000 0 庄得基础解系 P 0 所以kP1(k≠0)是对应于A=的全部特征值 当a2=3=时,解方程(A-E)x=0由 -210 10 A-E=-420~012 10 000 上页

, 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 4 1 0 3 1 0 2 ~                     − − A − E = , 1 0 0 1           得基础解系 p = ( 0) 2 . 所以k p1 k  是对应于1 = 的全部特征值 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 , 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 0 1 4 2 0 2 1 0 ~                     − − A − E =

得基础解系 P2=-2 所以kp2(k≠0是对应于礼2=孔3=1的全部特征值. 上页

, 1 2 1 2           − − 得基础解系 p = ( 0) 1 . 所以k p2 k  是对应于 2 =  3 = 的全部特征值

2 例3设4=020求A的特征值与特征向量 4 3 解 2-见1 A-E=02-元0 3-元 (孔+1(-2) 令-(2+1)(2-2)2=0 得A的特征值为几1=-1,42=3=2 上页

例３ 设 , 4 1 3 0 2 0 2 1 1           − − A = 求A的特征值与特征向量． 解     − − − − − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A E ( 1)( 2) , 2 = −  +  − ( 1)( 2) 0 2 令 −  +  − = 1, 2. 得A的特征值为1 = − 2 = 3 =