《数学分析》课程教学资源（考研讲义）极限与连续

极限与连续 §1数列极限的证明与计算 极限定义与性质的应用。 单调有界原理的应用 Cauchy收敛准则的应用 Stols公式, Taylor公式的应用 1、证明: lim sin n不存在 证法1:利用 Cauchy准则。N,取n=[2Nx+,],m=[2Nz+2] 则2Nx+4xn2N7+∞即得 lim cos n=0。又由sn2n+cos2n=1可知A=1。又因为 sn2n=2 sin ncos以及 lim cos n=0得到A=0。得出矛盾。 35172n+1 2、设;(1)xn 。试求: lm x。解:(1) 2416 乘xn,注意(1-a)1+a)=1-ai 3、求极限:im a1+a+…+a x→0 解:原式=1+ a1+…+a ak →hak,(x→>0) 4、已知a1>0.(i=1…m),计算lm )“ 解:令a=ml},A=mx{,由迫敛性得极限为A+1

1 极限与连续 § 1 数 列 极 限 的 证 明 与 计 算 极限定义与性质的应用。 单调有界原理的应用。 C auchy 收敛准则的应用。 S t ols 公 式 ,Taylor 公式的应用 1、 证明： n n lim sin → 不存在 证 法 1：利 用 C auchy 准则。 N,取 ], 4 3 [2  n = N + m = [2N + 2 ] ， 则         2 2 2 4 3 2 4 2N +  n  N +  N +  m  N + 故 2 2 sin n − sin m  。 证 法 2： 设 n n lim sin → ＝ A 。因为 sin( n + 2) − sin n = 2sin 1cos(n +1) ， 令 n → 即 得 lim cos = 0 → n n 。又由 sin cos 1 2 2 n + n = 可 知 A = 1。 又 因 为 sin 2n = 2sin ncosn 以 及 lim cos = 0 → n n 得 到 A =0。得出矛盾。 2、 设 ；（ 1） n n n x 2 2 2 2 1 16 17 4 5 2 3 + =  。试求： n n x → lim 。 解 ：（ 1） . .以 2 1 1 2 1 1 − − 乘 n x ，注意 2 (1− a)(1+ a) =1− a 。 3、求极限： x x n x x x n a a a 1 1 2 0 lim       + + + →  。 解：原式 = ln ,( 0) 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 → → −                 − + + + − + + − + + a x x a n a a k x k x n a a n a a x n x x n x x n x    。 4、已知                +       =  = − →+ = n p i p i n p i p i p ai i n a a 1 1 1 1 0,( 1, )，计算lim 。 解：令 min   , max . a = ai A = ai 由迫敛性得极限为 a A 1 +

2 5、设 2,求mx 解法(1):2(√k+1-√k)0 c(+x) 解:注意到x-x2( 1),求:lm 故应比较xn与√C的大小关系。问 题在于是否有:xn都大于√E?或x都小于vc?或xn都等于√E?

2 5、设： n n n k n n x k x → + = =  , : lim 1 2 2 ( 1) 求 。 解法（ 1）： 2( 1) 1 2( +1 − )   k − k − k k k 。 解法（ 2）： n x 中共有 2 n+2 项，最大项为 n 1 ，最小项为 1 1 n + ， 因 此 n n x n n n 2 2 1 2 2 +   + + 。 6、求极限： p n n p p p p n , ( 1 2 lim +1 → + ++ 为 自 然 数 ）。 解：利用 S t olz 公式、二项式定理。 7、求极限： 2 1 2 1 1 3 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 lim         −         −       − − → − − n n n n n  。 解：对 于连乘积形式，可以先取对数。         − + + − + − = − − − 2 1 2 2 ln 2 1 2 2ln 2 1 1 ln 2 1 ln 1 2 1 2 3 n n n n n x  ， 由 S t olz 公 式 2 1 , lim 2 1 ln 2 2 2 1 2 2 ln lim ln 1 2 1 2 lim = = − − = → − − − − → → n n n n n n n n n n x 所以 x 。 8、设 ： = = n k An ak 1 收敛， pn  + 。求 证 ： 0 1 1 lim = + + → n n n n p p a  p a 。 证 ： ak = Ak − Ak−1 ， 则 ： 原 式 = n n n k k k k A p p p A +  − − = + 1 1 1 ( ) ， 对 第 一 项 应 用 S t olz 公式。 9、 设 n n n n n c x c x c x x x → +  + +  = ( 1) , lim (1 ) 0 , 1 1 求： 。 解 ：注 意 到 ， n n n n c x x c x x + − − + = 2 1 故应比较 n x 与 c 的 大 小 关 系 。问 题在于是否有： n x 都 大 于 c ？ 或 n x 都 小 于 c ？ 或 n x 都 等 于 c ？

这问题通常与递推关系式f(x)=2(+x)的单调性及首项x的大 小有关 c+,则(x)=c(c-)70.且(ve)=√e,所以f(x)单调增 设:f(x)= (c+x) 加。① √C时,对任意n都有xn=√e,所以{xn}收敛于vc 由 f(xn)及归纳法可证 因此又有{xn}↓ √e。同理可证xn<vC,且{xn}↑ 另解:因为0<f(x)=-1)≤2c) 即f(x)为压缩映 射,从而{xn}收敛 若f(x)在I=[ ]上可微 f(x)≤a<1,f(a)-a≤(1-a)y 任取x∈,令x=f(x),x2=f(x1)…,xn=f(xn1)…。则:存在唯一的x∈1 使lm x为f(x)的不动点 证:先证f(x)是I到I的映射,即当x-dr时f(x)-dl≤r。再 证f(x)是压缩映射 11、设(x)≤M,0<a<%,x∈R令x=9(x)…x=可(xn) 试证mxn存在,且为方程x=f(x)的根。 0<q=Ma<1,xm-xl≤qxn-xn-,由此可知{xn}是柯西列 设0≤x≤1,y1 求极限 证:用归纳法可证{vn}↑,0≤yn≤

3 这 问 题 通 常 与 递 推 关 系 式 c x c x f x + + = (1 ) ( ) 的 单 调 性 及 首 项 1 x 的 大 小有关。 设 ： f c c c x c c f x c x c x f x  = + −  = + + = 0, ( ) ( ) ( 1) , ( ) (1 ) ( ) 则 2 且 ，所以 f (x) 单调增 加。① x = c 1 时，对任意 n 都 有 x c n = ，所以 xn  收敛于 c 。 ② x  c 1 。 由 ( ) n 1 n x = f x + 及归纳法可证 x c n  ，因此又有 xn   。 ③ x  c 1 。同理可证 xn  c ,且{xn }。 另解：因为 1 , ( ) 1 1 ( 1) ( ) ( 1) 0 ( ) 2 2 f x c c c c c x c c f x = −  即 −  + −   = 为压缩映 射，从而 xn  收敛。 1 0 、 若 f (x) 在 I=[a - r,a+r ] 上 可 微 ， f (x)  1, f (a) − a  (1−)r ， x I x f x x f x x f x x I  = = n = n−  * 0 1 0 2 1 1 任取 ,令 ( ), ( ), , ( ),。则：存在唯一的 * * lim x x , x n n =  使 为 f (x) 的不动点。 证 ：先 证 f (x) 是 I 到 I 的 映 射 ，即 当 x − a  r时 f (x) − a  r 。再 证 f (x) 是压缩映射。 1 1、 设 M f (x)  M , 0   1 ， , ( ), , ( ) 0  1 = 0 n = n−1 x R 令x f x  x f x 。 试 证 n n x → lim 存 在 ,且为方程 x = f (x) 的根。 证 ： 0 < 1 1 1, =  n+ − n  n − n− q M x x q x x ,由此可知 xn  是柯西列 . 1 2、 设 , ( 1 , 2 , ) 2 2 , 2 0 1 , 2 1   1 = = + − n =  x y y x x y n n 。求极限 n n y → lim 。 证：用归纳法可证 yn  , 0  yn  1

4 13、设a>1,x>√a,xn1 a+x (n=1,2,…)求极限 解:x1=1+(-+D及x>√可知x,≤√,x≥l。 又由x2一=2(a-x)j0x, va X+x 令a=如x,b=厘x2,分别在 a +x2 边取极限,得到a=b=√a,因此lmxn=√a xn,(m+3a) 14、设x>0,a>0,=3x+a,求:hs, x 1+ 。{xn}的单调性归结为 是否:x都大于园a?或x都小于√a?x都等于、a?设 ∫(x)=x(x2+30则f(≈3(x2 于是 ①.若 则 ②.若x>√a,则由f(x)的递增性可知xn>√a,所以{xn}递减。 ③.若x<a,也由f(x)的递增性可知xn(√a,所以{n}递增 15、设 ∏I(n2+1)”,求:mx 解:考察lnxn,化之为ln(1+x2)在[0,2]上的积分和 16 设 an=(an1+a=2)3,,试证{an}收敛于方程x3=x+x3的一个正根

4 1 3、 设 n n n n n n x x x x x → + = + +   = , ( 1, 2 , ) . lim 1 1, , 1 1  求极限：    。 解 ：         + − + +1 = + 1 2 2 +1 , 1 ( 1)( 1) 1 k k n n x x x x x 及 可知 。 又 由         + + − + − =     n n n n n n x x x x x x 0 0 1 2 2( ) 2 2 ，可知 x2k  , x2k+1 。 令 k k k k k k k k k k x x x x x a x b x x 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 , 1 lim , lim , + + = + + = = = + − − + → →   分别在 两 边取极限，得到 = =  =  → n n a b ,因此 lim x 。 1 4、 设 1 x ＞ 0， n n n n n n x x a x x a a x → + + +  = , lim 3 ( 3 ) 0 , 2 2 1 求： 。 证 ：                 + = + + x a x a x a a x x n n n n n 1 1 3 8 1 3 1 2 1 。 xn  的 单 调 性 归 结 为 是否： n x 都大于 a ？ 或 n x 都小于 a ？ n x 都等于 a ？ 设 x a x x a f x + + = 2 2 3 ( 3 ) ( ) 则 f a a x a x a f x  = + −  = 0 , ( ) (3 ) 3( ) ( ) 2 2 2 2 。于是： ① ． 若 1 x = a ， 则 n x = a 。 ② ． 若 1 x > a ,则 由 f(x)的递增性可知 n x > a ,所 以 xn  递减。 ③ ． 若 1 x 0, 3 1 3 1 1 a = (a + a ) ， 3 1 3 1 2 1 a = (a + a ) ，．．．， 3 1 3 1 1 2 ( ) an = an− + an− ，．．． 试 证 { n a }收敛于方程 3 x ＝ 3 1 x + x 的 一 个 正 根

证:先来讨论{an}的单调性: 当a+a3≥a3时,可推知{an}递增,an≥a>0。当a+a3≤a3时, 可证{an}递减 再来分析{an}的有界性:设f(x)=x+x3-x3。 an}递增时,a3=an1+ωa2≤an+a,故f(an)≥0;{an}递减时, an=an1+a2≥an+a3,故f(an)≤0。因此,需要确定f(x)的保号区 间。由介值定理知正根ξ的存在性,又由罗尔定理知ξ的唯一性 再由f(+∞)=-∞,所以在(0,+∞)上f(x)具有如下的保号性 f(x)>0分x∈(0,5);f(x)N 时xnN)使得 x是{xn}的下极限当且仅当对任意正数E有:①存在N当n>N 时xn>x-E。②对任意自然数N",存在自然数n(n>N)使得

5 证：先来讨论 { n a }的单调性： 当 3 1 a + a  3 a 时 ， 可 推 知 { n a }递增， n a  a >0 。 当 3 1 a + a  3 a 时 ， 可 证 { n a }递减。 再来分析 { n a }的有界性：设 f (x)= 3 1 x + x － 3 x 。 { n a }递增时， 3 n a = 3 1 an−1 + an−2  n a + 3 1 n a ，故 f ( n a )  0；{ n a }递减时， 3 n a = 3 1 an−1 + an−2  n a + 3 1 n a ，故 f ( n a )  0。因 此 ，需 要 确 定 f (x)的 保 号 区 间 。由 介 值 定 理 知 正 根  的 存 在 性 ，又 由 罗 尔 定 理 知  的唯一性， 再 由 f (+  )＝ －  ，所 以 在（ 0，+  ）上 f (x)具有如下的保号性： f (x)＞ ０  x  （ 0，  ）； f (x)＜ ０  x  （  ， +  ）。 综 上 可 知 { n a }递增时 n a   ， 即 { n a }有 上 界 ； { n a }递减时 n a   ， 即 { n a } 有下界。 § 2 上 极 限 与 下 极 限 （一） 数列的上、下极限。 上、下极限的各种等价定义： 上、下极限的确界定义： 设 xn  是 有 界 数 列 ，  k  k n n x x  = sup ， n x =  k  k n x  inf 。 则 xn  递增有 上界， x n  递减有下界。记 x = n→ lim n x ， x = n→ lim n x ， 分 别 称 为 xn  的 上 、 下 极 限 ， 记 为 n n n n x x → → lim , lim 。 显 然 n n x → lim =  k  k n n x   inf sup 1 ， n n x → lim =  k  k n n x   sup inf 1 ，并且 n n x → lim  n n x → lim 。 上、下极限的  − −N 定义： x 是 xn  的上极限当且仅当对任意正数  有 ：① 存 在 N 当 n> N 时 x  x +  n 。 ② 对 任 意 自 然 数 N ， 存 在 自 然 数 n (n  N) 使 得 x  x − n 。 x 是 xn  的下极限当且仅当对任意正数  有 ：①存在 N 当 n> N 时 x  x − n 。 ② 对 任 意 自 然 数 N ， 存 在 自 然 数 n (n  N) 使 得

6 x0时又有 0,存在 n→∞ n0,当n>n时,一>a-E。又存在N(N>n)使a-EN,n=kN+m(0≤m<N),则 k +<a+2E(只要n充分大) n

6 x  x +  n 。 上、下极限的聚点定义： x （ x ） 是 xn  的 上 （ 下 ） 极 限 ， 当 且 仅 当 x （ x ） 是 xn  的 最 大（小）聚点。 上、下极限的子列定义 ： x （ x ） 是 xn  的 上 （ 下 ） 极 限 ， 当 且 仅 当 存 在 子 列   nk x 收 敛 于 x （ x ）， 且 对 xn  任何收敛子列的极限  ，都有 x    x 。 基本事实： xn  收敛的充要条件是 n n x → lim = n n x → lim 。 注：若 xn  无 上 界 ， 则 规 定 n n x → lim =+  ， 若 xn  无 下 界 ， 则 规 定 n n x → lim =－ 。 范例： 1、对任意数列 xn  都有： ① n n x → lim  n x xn n + + → 1  lim  n x xn n + + → 1  lim  n n x → lim 。 ② 当 n x > 0 时又有 : 1 lim − → n n n x x  n→ lim n n x  n→ lim n n x  n→ lim n−1 n x x . 证 ： ①利用上、下极限的  − −N 定义可证。 ②注意 n x = n−1 n x x 1 1 2 2 1 x x x x x n n  − − 。用  − −N 分 析 法 可 证 左 端 的 不 等 式 ， 再 利 用 几 何 平 均  算术平均及 ① 的 结 果 可 证 右 端 的 不 等 式 。 2、 设 0  n m x +  n x + m x ，求证： n→ lim n xn 存在。 证 ：若 n→ lim n xn 存 在 ，应 有 n→ lim n xn = n→ lim n xn =  。对 任 意  >0,存 在 0 n ,当 n > 0 n 时 , n xn >  -  。 又 存 在 N（ N > 0 n ） 使  -  ＜ N xN ＜  ＋  。对任意 n>N， n=kN +m（ 0  m<N）， 则 :  -  < n xn  n kx x N + m < N xN + n xm <  ＋ 2  (只 要 n 充分大 )

注:上述方法的妙处在于确定了估计对象a 3、设0≤xm≤xnx。求证:m√xn存在。 证:设a=mxn。存在N使xN时xn>a-E 设n=kN+m(0≤mN时|n-xN,P21使x〈a+E,x+>B-E,于是在x+1…,xm+中 间至少有一个属于(ξ-E,ξ+ε)(若不然,则存在 xm+k5+E,与已知条件矛盾)。由E的任意性既知5 是{xn}的聚点 5、设{xn}为正数列,证明:lm →① 反证法:设所述上极限为a,且∝N时 N),a1(x+…+x,,) an aN+k+ 而k→>∞时左边趋 ntk N-1 N+k 于无穷,得到矛盾。 (二)函数的上下极限 函数上下极限的各种等价定义 确界定义

7 注：上述方法的妙处在于确定了估计对象  。 3、 设 0  n m x +  n x m x 。求证： n→ lim n n x 存在。 证 ：设  = n→ lim n n x 。存 在 N 使 N N x N 时 n n x >  -  . 设 n= k N +m（ 0  mN 时 n n x − x +1 N , p  1 使 n0 x  -  , 于是在 0 1 0 1 , , n + n + p− x  x 中 间至少有一个属于 (  -  ,  +  ) （若不然，则存在   −    +  0 + 0 + +1 , n k n k x x ，与 已 知 条 件 矛 盾 ）。由  的任意性既知  是 xn  的聚点。 5、 设 xn  为正数列，证明： n→ lim n n n a a a         1 + +1  e 。 反证法：设所述上极限为  ， 且  N 时 n n n a a a         1 + +1 N )， N k a N a N N k a N N k + − −  + + + + +1 1 1 ) 1 1 (  ＜ N −1 aN ,而 k → 时左边趋 于无穷 ,得到矛盾 。 （二） 函数的上下极限： 函数上下极限的各种等价定义： 确界定义：

设f(x)在N°(a,n)内有定义,Vd:00:①38>0,当 x∈N(a,δ)时,f(x)0,彐x∈N(a,),使f(x)>A B是f(x)在点a的下极限,当且仅当vs>0:①彐δ>0,当 x∈NO(a,o)时,f(x)>B-E。②Vδ>0,3x∈N°(a,δ),使∫(x)0,3>0,当X∈N(a,δ)时,B-E<f(x)<A+E ③lmf(x)存在,当且仅当imf(x)=lmf(x)。 ④f(x)在任意N(a,)内无上(下)界,当且仅当mf(x)=+∞ (lm f(x) 注:由上(下)极限概念可以进一步引入函数的上(下)半 连续性,并在闭区间上建立上(下)半连续函数的上(下)界、 最大(小)值定理 §3实数基本定理与函数的连续性

8 设 f (x) 在 ( , ) 0 N a  内有定义，  : 0    ，记： ( )  ( ), ( , ), ( )  ( ), ( , ) 0 0   = Sup f x x  N a    = Inf f x x  N a  。 显 然 ， 当   0 时 ， ( )  ，( )  。从 而 由 归 结 原 则 可 知 → + 0 lim  ( ) ，→ + 0 lim  ( ) 存 在 或   。记： lim f (x) x→a = → + 0 lim  ( ) ， x→a lim f (x) = → + 0 lim  ( ) ， 分 别 称 为 f (x) 在 点 a 的上下极限。  −  定义： A 是 f (x) 在 点 a 的上极限，当且仅当   0 ： ①  >0, 当 x  ( , ) 0 N a  时 , f (x) 0,  x  ( , ) 0 N a  , 使 f (x) > A －  。 B 是 f (x) 在 点 a 的下极限，当且仅当   0 ： ①  >0, 当 x  ( , ) 0 N a  时 ， f (x) >B－  。②   >0,  x  ( , ) 0 N a  ，使 f (x) 0,当 x  ( , ) 0 N a  时 , B－  < f (x) < A +  。 ③ x→a lim f (x) 存在，当且仅当 x→a lim f (x) = x→a lim f (x) 。 ④ f (x) 在任意 ( , ) 0 N a  内 无 上（ 下 ）界 ，当 且 仅 当 x→a lim f (x) =+  （ x→a lim f (x) =－  ）。 注 ：由 上（ 下 ）极 限 概 念 可 以 进 一 步 引 入 函 数 的 上（ 下 ）半 连 续 性 ，并 在 闭 区 间 上 建 立 上（ 下 ）半 连 续 函 数 的 上（ 下 ） 界 、 最大（小）值定理。 § 3 实 数 基 本 定 理 与 函 数 的 连 续 性

主要知识点: 连续概念及应用 连续函数性质的应用; 实数基本定理及其应用 范例: 1、设y=f(x)在(a,b)内具有介值性质,且1-1对应。求证: i)、f(x)严格单调,值域为某个区间J )、f-(y)在J内严格单调。 ⅲ1)、f(x)、f(y)都连续 证:i)(反证)不妨设存在x1f(x3), 取 u∈(maxf(x1)f(x3),f(x2)),丑x'∈(x1,x2)2x"∈(x2,x3)使4=f(x)=f(x") )由x=f-(y)当且仅当y=f(x),及∫(x)的单调性即知 i)设: (f(x0)-E,f(x0)+E)cJ。彐x1,x2使f(x1)=f(x)-E,f(x2)=f(x0)+E。不 妨设∫(x)单调增加,于是x1f(a)>a,存在B>a使f(B)>a)f(a)。由介值定理彐b∈(A,a), b2∈(a,B)使f(b1)=f(b2)=a,于是f(f(b)=f(f(b2)=f(a),且b1≠b2

9 主要知识点： 连续概念及应用； 连续函数性质的应用； 实数基本定理及其应用。 范例： 1、 设 y = f (x) 在 (a,b) 内具有介值性质，且 1— 1 对 应 。 求 证 ： ⅰ ）、 f (x) 严格单调，值域为某个区间 J。 ⅱ )、 ( ) 1 f y − 在 J 内严格单调。 ⅲ ）、 f (x) 、 ( ) 1 f y − 都连续。 证 ： ⅰ ）（ 反 证 ） 不 妨 设 存 在 , ( ) ( ), ( ) ( ) 1 2 3 1 2 2 3 x  x  x f x  f x f x  f x ， 取 ( max( ( ), ( )) , ( ) ) , ( , ), ( , ) ( ) ( ) 1 3 2 1 2 2 3   f x f x f x x  x x x  x x 使 = f x  = f x  ⅱ )由 x = ( ) 1 f y − 当且仅当 y = f (x) ， 及 f (x) 的 单 调性即知。 ⅲ）设： ( ( ) − , ( ) +  )   , ( ) = ( ) − , ( ) = ( ) +  0 0 1 2 1 0 2 0 f x f x J 。 x x 使f x f x f x f x 。不 妨 设 f (x) 单调增加，于是 x1  x0  x2 ,取 = min{ x0 − x1 , x2 − x0 ) ,则当     −   +  − +     ( ) ( ) ( ) ( , ) . ( ) ( ) ( ) , 0 0 0 0 1 2 1 2 f x f x f x x x x 时 x x x 故由单调性知 f x f x f x 即 注意到 ( ) 1 f y − 与 f (x) 具有同样的性质，故 ( ) 1 f y − 也连续。 2、 设 f (x) 在 (− , + ) 连续，且 0 ( ) lim = → n x x f x ，求证： ⅰ）若 n 为奇数，则存在 R ， 使  f ( ) n + = 0。 ⅱ ) 若 n 为偶数，则存在 R ， 使 x  R , x + f (x)  n  f ( ) n + 。 证 ： F（ x） = 1 ( ) ( ) , → + → x n n x F x x f x ， 故 当 x 充分大时， F（ x） 与 n x 同号。于是，当 n 为 奇 数 时 F（ x） 变 号 ， 由 介 值 定 理 即 证 ； 而 当 n 为偶数时 F（ x） → +  x→ ， 故 F（ x） 在 R 上有最小值。 3 、 设 f (x) 处 处 连 续 f x f x f a a x = + =  → lim ( ) , min ( ) ( ) 。求证： f ( f (x)) 至少在两个不同点处取到最小值。 证：显然 x  R , f ( f (x))  f (a) 。又依条件可知存在 Af(a)>a, 存 在 B>a 使 f ( B ) > a > f ( a )。由 介 值 定 理 ( , ) b1  A a ， ( , ) b2  a B 使 1 2 1 2 1 2 f (b ) = f (b ) = a ,于是 f ( f (b )) = f ( f (b )) = f (a) ,且b  b

4、设f(x)处处连续,f(f(x)=x,求证:f(x)有不动点。 证:作F(x)=f(x) 则F(f(x)) f(x)。故 x)在点x,f(x)异号,再由介值定理即证。 几何意义:按题意知,点(x,f(x),(f(x),x)都在曲 线C: y=f(x)上,而点(x,f(x),(f(x),x)关于对角线对称, 因此曲线C必与对角线相交 5、设∫(x)在[0,1]连续,且f(0)=f(1),则n∈N,∈[01 使∫(5+-)=f(2)。 证:设o(x)=f(x+-)-f(x),0≤x≤1-.则∑o(-)=f(1)-f(0)=0, =0n 所以()中必有异号的两项(或全为零),由介值定理即证。 6、设n是自然数,f(x)在[0,n]上连续,f(0)=f(n) 求证:[0,n]上至少有n对不同的{u,v}使f(u)=f(v) 且v-u是正整数 证:(归纳法)设n=k时已成立,考察n=k+1。已知f(x) 在区间[0,k+1]连续,f(0)=f(k+1)。 ①仿上题方法可证:3∈[0.k]使f()=f(5+1) ②化为n=k情形:作hn(x)0≤x5 ∫(x+1)55,则∫(x1+1)=f(y+1),且(x2+1,y1+1)≠(55+1)。 若x1≤5,y>5,则f(x)=f(y2+1),且(x,y1+1)≠(5+1)。 故由(x1,y)得到(x,y),使得f(x)=f(y),y-x是正整数, 并且 (x2,y)≠(5,5+1)。于是{(x,y),(5,5+1)}即为所求。 7、设f(x)在[a,b]连续,wx∈[ab使f(y)≤f(x),求证 存在ξ∈[ab]使∫()=0

10 4、 设 f (x) 处处连续， f ( f (x)) ＝ｘ，求证： f (x) 有不动点。 证：作 F（ x） ＝ f (x) －ｘ，则 F（ f (x) ）＝ｘ－ f (x) 。 故 F （ x）在点ｘ， f (x) 异号，再由介值定理即证。 几何意义：按题意知，点（ｘ， f (x) ），（ f (x) ，ｘ）都在曲 线 C： y＝ f (x) 上 ，而点（ｘ， f (x) ），（ f (x) ，ｘ）关于对角线对称， 因此曲线 C 必与对角线相交。 ５ 、设 f (x) 在 [ 0，1 ]连 续 ，且 f（ 0）＝ f（ 1），则 n  N ,  [0,1] 使 ) ( ) 1 ( f  n f + = 。 证 ：设 . ( ) (1) (0) 1 ) ( ) , 0 1 1 ( ) ( 1 0 f f n k n f x x n x f x n k = + −   −  = − − =  则：  ＝０， 所 以 ( ) n k  中 必 有 异 号 的 两 项 （ 或 全 为 零 ）， 由 介 值 定 理 即 证 。 6、 设 n 是 自 然 数 ， f (x) 在 [ 0， n ]上连续， f（ 0） ＝ f （ n）， 求证： [ 0， n ]上至少有 n 对不同的 { u， v }使 f（ u） ＝ f（ v）， 且 v -u 是正整数。 证 ：（ 归 纳 法 ）设 n＝ ｋ 时 已 成 立 ，考 察 n＝ ｋ + 1。已 知 f（ x） 在区间 [ 0， ｋ +1]连续， f（ 0） ＝ f（ ｋ + 1）。 ① 仿上题方法可证：  [0,k]使f () = f ( +1) ② 化 为 n＝ k 情形：作    +     = f x x k f x x h x   ( 1) ( ) 0 ( ) ,则 h(x)在 [ 0， k ]连续，且 h(0)＝ h(k)。故存在 ( , ), , x1 y1  ( , ) k k x y 使 ( ) ( ) i i h x = h y ， 并 且 i i y − x 是正整数。③ 、表成 f (x) 的等式。 若  , i y 则 ( ) i f x ＝ ( ) i f y ， 且 ( , ) i i x y  (, +1) 。 若  , i x 则 f (xi +1) = ( +1) i f y ， 且 ( +1, +1) i i x y  (, +1) 。 若 xi  , yi   ， 则 ( ) i f x ＝ ( +1) i f y ， 且 (xi , yi +1)  (, +1) 。 故 由 ( , ) i i x y 得到（ i x ， i y  ）， 使 得 f ( i x  )＝ f ( i y  ) , i y  - i x  是正整数， 并 且 （ i x ， i y  ）  (, +1) 。 于 是 ｛（ i x ， i y  ）， (, +1) ｝即为所求。 7、 设 f(x)在 [a,b]连续， ( ) 2 1 x [a,b] 使 f ( y)  f x ，求证： 存 在  [a,b]使 f () = 0