《数值分析》课程教学资源（PPT课件）第八章 非线性方程（组）的数值解（2/2）

§3.非线性方程组的迭代法 常见的两种方法 Newton迭代法 极小化方法

§3. 非线性方程组的迭代法 常见的两种方法： Newton迭代法 极小化方法

例:设非线性方程组 f(x,x)=x2+2-5=0 1(x)=(x+02(x+)=0

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 , 5 0, , 1 3 1 0. f x x x x f x x x x x  = + − =   = + − + =  例：设非线性方程组

f1(x) 记x=: f, (r) 则非线性方程组 (x)=f(x,x2…x)=0 台→F(x)=0 U(x)=f(x,x2…,x)=0 求其解,即确定一个向量 file 使得F(x)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 2 * 1 1 * * , , , , 0 0. , , , 0 , 0 n n n n n n n n x f x f f f x x x f f x x x f x x f            = =              = =    =  = =          = =               x x F x x x F x x x x F x x 记 则非线性方程组 求其解，即确定一个向量 使得 ＝

由非线性方程组构造一个辅助函数Φ(x),如 (=)=>E(x)=F(xF(x 用下降算法求(x)的极小值点,所得极小值点 即为非线性方程组得近似解

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 n T i i= =      Φ x Φ x F x F x F x Φ x 由非线性方程组构造一个辅助函数 ，如 ＝ 用下降算法求 的极小值点，所得极小值点 即为非线性方程组得近似解

基本思想:用线性方程组近似非线性方 程组,由线性方程组得解向量序列,逐 步逼近非线性方程组得解向量。 Newton迭代公式为 (k+1)_、( DFLxkk) fl (k).k=at' (若Jb0阵DF(x)非奇异) Newton迭代法具有二阶收敛速度,但对初始 值得要求很高,即充分靠近解x*

基本思想：用线性方程组近似非线性方 程组，由线性方程组得解向量序列，逐 步逼近非线性方程组得解向量。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , 0,1, k k k k k k −  = − =     x x DF x F x DF x x ＋ Newton迭代公式为 （若Jacobi矩阵 非奇异） Newton迭代法具有二阶收敛速度，但对初始 值得要求很高，即充分靠近解

其中 1af11 or oX ox DF(x or of of

( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 n n n n n n f f f x x x f f f x x x f f f x x x              =            其中 DF x

例:设非线性方程组 f(x,x)=x2+x2-5=0 1(x)(x+)2-(3x+)2=0 用^ewon迭代法求方程组的近似解,取 x0=(x9,)=()

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 2 , 5 0, , 1 3 1 0. , 1,1 . T T f x x x x f x x x x x Newton x x  = + − =   = + − + =  x = = 例：设非线性方程组 用 迭代法求方程组的近似解，取

Newton迭代公式为 (k+1)_、( DFLr(k) k=0.1 3,f(x =-2,F(x0 2 2x DFIx 3x)+1 →DF/x(0) 4(11

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 2 1 1 0 , 0,1, 3 3, 2, . 2 2 2 2 2 , 3 1 2 2 1 1 1 , 4 1 1 k k k k k f f x x x x − − = − =       − = − = − =     −     = =     − +   −     −  =         x x DF x F x x x F x DF x DF x ＋ Newton迭代公式为

→ DFIx 32 x549-4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 5 1 1 1 3 1 4 , 1 1 1 2 9 4 4 −  = −       − −         = − =                 −     x x DF x F x

13 13 flx 16 5 16 2x 2 5/29/2 DLx 3/49/4 1/16-1/8 →DF(x0 ) 1/485/72 73/36

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 13 13 5 8 , , , 8 16 5 16 2 2 5 / 2 9 / 2 , 3 1 3/ 4 9 / 4 1/16 1/ 8 4 , 1/ 48 5 / 72 1 , 73/ 36 f f x x x x − −     = = =             = =     − +   −     −  =            = − =         x x F x DF x DF x x x DF x F x