§6分段低次插值 ◆多项式插值的问题 ◆分段线性插值 ◆分段三次埃尔米特插值 小结
§6 分段低次插值 ❖多项式插值的问题 ❖分段线性插值 ❖分段三次埃尔米特插值 ❖小结
1.多项式插值的问题 前面介绍了构造插值公式的方法,并 分析了它们的余项。在实际应用插值函数 作近似计算时,总希望插值公式余项R,(x) 的绝对值小一些,即使得逼近的精度好。 从R(x)表达式看,似乎提高插值多项式的 次数便可达到目的,但实际上并非如此
1. 多项式插值的问题 前面介绍了构造插值公式的方法，并 分析了它们的余项。在实际应用插值函数 作近似计算时，总希望插值公式余项 的绝对值小一些，即使得逼近的精度好。 从 表达式看，似乎 提高插值多项式的 次数便可达到目的，但实际上并非如此。 R x n ( ) ( ) R x n
在插值过程中有两种误差:1)由插值函数 P(x)替代被插函数f(x)所引起的截断误差; 2)节点数据的误差。这种误差在插值过程 中是否会被扩散或放大呢?这就是插值过 程的稳定性问题。对任意的插值节点,当 n→时,P(x)不一定收敛到f(x),事实上 当n变大时,插值过程对于节点的数据误差 非常敏感,也就是说高次插值具有数值不 稳定性
在插值过程中有两种误差：1）由插值函数 替代被插函数 所引起的截断误差； 2）节点数据的误差。这种误差在插值过程 中是否会被扩散或放大呢？这就是插值过 程的稳定性问题。对任意的插值节点，当 时， 不一定收敛到 ，事实上， 当n变大时，插值过程对于节点的数据误差 非常敏感，也就是说高次插值具有数值不 稳定性。 P x n ( ) f x( ) n → f x( ) P x n ( )
例1给定函数 f(x)21+x 5≤x≤5, 取其等距节点x=-1+10in(=0…n),构 造的 Lagrange插值多项式为 1+x2 当n>∞时,P2(x)只能在≤363内收敛,而 在这个区间以外是发散的。这种畸形现象 通常叫做 Runge现象。如下图所示
例1 给定函数 取其等距节点 ， 构 造的Lagrange插值多项式为 当 时， 只能在 内收敛，而 在这个区间以外是发散的。这种畸形现象 通常叫做Runge现象。如下图所示。 x 3.63 x i n i n i = − + = 1 10 0,1, , ( ) ( ) 2 1 , 5 5, 1 f x x x = − + ( ) 2 0 1 ( ) 1 n n i j j p x l x = x = + n→ ( ) n p x
P(r) x 0.5 .5
2 1 1+ x P x n ( )
为了既要增加插值结点,减小插值区间 以便更好的逼近被插值函数,又要不增加 插值多项式的次数以减少误差,可以采用 分段插值的办法。 所谓分段低次插值,就是对于给定的x, 只取与之邻近的节点及相应的函数值作低 次多项式插值。 优点:方便,简单,有较好的稳定性和收 敛性,通常在分点处保持一定的连续性
为了既要增加插值结点，减小插值区间， 以便更好的逼近被插值函数，又要不增加 插值多项式的次数以减少误差，可以采用 分段插值的办法。 所谓分段低次插值，就是对于给定的 ， 只取与之邻近的节点及相应的函数值作低 次多项式插值。 优点：方便，简单，有较好的稳定性和收 敛性，通常在分点处保持一定的连续性。 x
2.分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线 段连接起来逼近f(x) 给定节点 a≤x0<x x.b f(x).在节点上的函数值为y,过型值点 (x,y)=01…,n作折线相连,则 X-x +1 X-X y;+ 41-xMmx,≤x≤x1=0,1,-,n-1
所谓分段线性插值就是通过插值点用折线 段连接起来逼近 。 给定节点 在节点 上的函数值为 ，过型值点 作折线相连，则 2. 分段线性插值 f x( ) 0 1 n a x x x b f x( ) i x i y ( x y i n i i , , 0,1, , ) = ( ) 1 1 1 1 1 , , 0,1, , 1 i i i i i i i i i i x x x x p x y y x x x i n x x x x + + + + + − − = + = − − −
是分段一次多项式,但总体在a上连续
是分段一次多项式，但总体在 a b, 上连续。 0 x 1 x n 1 x − n x 2 x X Y O f x( ) p x( )
若令x1=x0,xm X-X x1≤x≤x(j=0,…,m) X-X 几.(x ≤x≤x1(j=0, 0, els 则4(x)是分段一次的连续函数且满足条件
若令 则 是分段一次的连续函数且满足条件 1 1 1 1 1 1 , ( 0 1, , ); ( ) , ( 0 1, , ; 0 j j j j j j j j j j j x x x x x j n x x x x x x x x j n x x − − − + + + − = − − = = − ， ， ） ， else 1 0 1 , , n n x x x x − + = = ( ) j x
0.i≠ 则(x),=0,1…,n即为分段线性插值的基 函数,基函数λ(x只在x附近不为零,在 其它地方均为零,这种性质称为局部非零 性质。相应的分段线性插值函数为 p(x)=∑y4(x),a≤x≤b i=0
则 即为分段线性插值的基 函数，基函数 只在 附近不为零，在 其它地方均为零，这种性质称为局部非零 性质。相应的分段线性插值函数为： ( ), 0,1, , j x j n = 1, ( ) 0, . i j ij i j x i j = = = ( ) ( ) 0 , n i i i p x y x a x b = = ( ) j x xj