第三部分广义积分与级数 §1阶的概念 设x→x时Q(x),v(x)都是无穷小量。 i)若Im0x)=1,则记(x)-w(x(x→x)。称之为等价无穷小 ⅱ)若im=0,则记(x)=((x)(x→x)。称(x)是比v(x)的高阶无 X→x0 v(x) 穷小。 i)若在()/4,则记o(x)=0(x)(x→x)。(注意,此时不 定有v(x)=Oo(x)0x),则(x)=O(v(x)(x→x0);反之不然 x→0时o(x)=0(x"),且n>k,则o(x)=(x3):反之不然 若q(x)~v(x)( ),则(x)-(x)=0((x)),(x)-v(x)=(v(x) 例如 0时 sinx-tan x-In(1+x-e xIna,(1+x)-1-ax, 1 (1) O() (sinx)。又如: x-sinx=(x),x-sinx=(x2),但不能由此得出o(x)=(x2)
第三部分 广义积分与级数 §1 阶的概念 设 0 x x → 时 ( ) , ( ) x x 都是无穷小量。 ⅰ）若 0 ( ) lim 1 ( ) x x x x → = ，则记 0 ( ) ( ) ( ) x x x x → 。称之为等价无穷小。 ⅱ）若 0 ( ) lim 0 ( ) x x x x → = ，则记 0 ( ) ( ( )) ( ) x x x x = → 。称 ( ) x 是比 ( ) x 的高阶无 穷小。 ⅲ）若在 0 0 U x( ) 内 ( ) ( ) x A x ，则记 0 ( ) ( ( )) ( ) x O x x x = → 。（注意，此时不一 定 有 ( ) ( ) ( ( ))0 ( ) x x O x A B x = ( ) ( ( )) x O x = ）。 特 别 若 在 0 0 U x( ) 内 ( ) 0 ( ) x A B x ，则称 x →0 时 ( ) , ( ) x x 是同阶无穷小。 注：严格说来， ( ( )) , ( ( )) x O x 是一个集合，所以ⅱ）、ⅲ）中“=”的意义应理解 为“ ”。 无穷小量具有下列一般性质： 1、 设 0 x x → 时 ( ) x 为无穷小量，则 ( ( )) ( ( )) ( ( )) x x x = 。 2、 设 0 x x → 时 ( ) , ( ) x x 都是无穷小量，则 ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) x x x x = 3、 设 0 0 0 lim ( ) 0 , ( ) ( ) x x x x N x → = 在 有界，则 ( ) ( ( )) ( ( )) x x x = 4、 若 0 ( ) ( ( )) ( ) x x x x = → ，则 0 ( ) ( ( )) ( ) x O x x x = → ；反之不然。 5、 若 0 ( ) ( ) , , ( ) ( ) n k x x x n k x x → = = 时 且 则 ；反之不然。 6、 若 0 ( ) ( ) ( ) x x x x → ，则 ( ) ( ) ( ( )) , ( ) ( ) ( ( )) x x x x x x − = − = 例如： x →0 时 sin tan ln(1 ) 1 x x x x x e + − ， 1 ln x a x a − ，(1 ) 1 x x + − ， 1 2 1 cos 2 − x x sin (1) x = ， 2 x x x x + = + ( )， 1 x O x sin ( ) x = ， tan (sin ) x O x = 。又如： x x x − = sin ( )， 2 x x x − = sin ( ) ，但不能由此得出 2 ( ) ( ) x x =
应用举例 1、求极限Iim (-7-)…((2 解:x→1时√-1=+(x--1(x-1) 2、设lmf(x)=0,f(x)-f()=(x)(x→>0)。求证:f(x)=(x)(x→0)。 证:要证ⅤE>0,36>0,当0<x<6时(x)<xE 已知(x)-f(,)<,由此可得(2)-f(2)<6,,n=12…。于是有 ()-f(2)<x(1-,),(x)s/(2)+2x,令n→O即证 3、求极限im(|e'a-1 解:运用的二阶皮亚诺型泰勒展开式即可。 4、求极限lim tan(tan x)-sin(sin x) tan x-sinx 解、tanx=x++(x3),于是有 3 (r) tan(tan x)= tan(x+-+ 3))=x++(x2)+=x+2+(x3)
应用举例： 1、 求极限 3 1 1 ( 1)( 1) ( 1) lim ( 2) ( 1) n n x x x x n x → − − − − − 。 解： x →1 时 1 1 1 ( 1) ( 1) k k x x x k − = + − − 。 2、设 0 lim ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) ( 0) x 2 x f x f x f x x → = − = → 。求证： f x x ( ) ( ) = ( 0) x → 。 证：要证 0 , 0 , 当 0 x 时 f x x ( ) 。 已 知 ( ) ( ) , 2 x f x f x − 由此可得 1 1 ( ) ( ) , 1,2, 2 2 2 n n n x x x f f n − − − = 。于是有 1 ( ) ( ) (1 ) 2 2 n n x f x f x − − ， ( ) ( ) 2 2 n x f x f x + ，令 n → 即证。 3、求极限 2 5 4 2 0 0 1 1 1 lim ( ) 3 x t x e dt x x x + − → − − 。 解：运用的二阶皮亚诺型泰勒展开式即可。 4、求极限 0 tan(tan ) sin(sin ) lim x tan sin x x → x x − − 。 解、 3 3 tan ( ) 3 x x x x = + + ，于是有 3 3 3 3 3 3 3 2 tan(tan ) tan( ( )) ( ) ( ) 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x = + + = + + + = + +