第八章.矩阵特征值和特征向量计算 应用背景工程实践中有多种振动问题,如桥 梁或建筑物的振动,机械机件、飞机机翼的振 动,及一些稳定性分析和相关分析可转化为求 矩阵特征值与特征向量的问题
第八章. 矩阵特征值和特征向量计算 应用背景 工程实践中有多种振动问题，如桥 梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振 动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求 矩阵特征值与特征向量的问题
1已知A=(an)n,求代数方程0()=de(2-A)=0 的根。(4)称为的特征多项式,一般有n个零点,称 为A特征值。 2设为怕的特征值,求相应的齐次方程(l-A)x=0 的非零解(即求Ax=λ的非零解),x称为矩阵A对应 于λ的特征向量。 但高次多项式求根精度低,一般不作 为求解方法.目前的方法是针对矩阵不同的 特点给出不同的有效方法
但高次多项式求根精度低 , 一般不作 为求解方法. 目前的方法是针对矩阵不同的 特点给出不同的有效方法. 1. ( ) , ( ) det( ) 0 ( ) 2. ( ) 0 A a I A ij n n A n A A I A x Ax x x A = = − = − = = 已知 求代数方程 的根。 称为 的特征多项式，一般有 个零点，称 为 的特征值。 设 为 的特征值，求相应的齐次方程 的非零解（即求 的非零解）， 称为矩阵 对应 于 的特征向量
主要方法 乘幂法与反幂法(迭代法) QR算法 ° Jacobi方法(变换法)
主要方法 • 乘幂法与反幂法（迭代法） • QR算法 • Jacobi 方法（变换法）
§1乘幂法和反幂法 乘幂法 乘幂法:求矩阵的按模最大的特征值与 相应的特征向量。 基本思想:通过迭代产生向量序列,由 此计算特征值和特征向量
§1.乘幂法和反幂法. 一、乘幂法 乘幂法：求矩阵的按模最大的特征值与 相应的特征向量。 基本思想：通过迭代产生向量序列，由 此计算特征值和特征向量
设nx阶实矩阵的特征值2(i=1,2,…,m满足 A4|>122…21n且与2(=12…n)相应的特征 向量u1,2…,un线性无关。 给定初始向量x)≠,由迭代公式x+)=Ax6) (k=12…)产生向量序列{x),可以证明,当k充 分大时,有1x+x),相应的特征向量为x+) 因为u(λ,对应的特征向量)线性无关,故必存在 n个不全为零的数a1(=1,2,…,m,使得x=∑a
1 2 1 2 (0) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 ( 1, 2, , ) ( 1, 2, , ) , , , , ( 1, 2, ) , / , i n i k k k k k k i i i i n n A i n i n k x k x x + + = = = = u u un x 0 x Ax x u ＋ 设 阶实矩阵 的特征值 满足 且与 相应的特征 向量 线性无关。 给定初始向量 由迭代公式 产生向量序列 可以证明，当 充 分大时，有 相应的特征向量为 。 因为 ( 对应的特征向量）线性无关 (0) 1 ( 1, 2, , ), n i i i i n i n = = = x u ，故必存在 个不全为零的数 使得
由 (k+1)A(k fx=∑ ∑a1+2 (k+1) k+1 a1l4+( k+1 k+1 CL2+… C 设a1≠0由1>21|(=2,3…m)得 (k+1) →lim,=a k+1 →)00
( 1) ( ) 1 (0) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( ) ] 0, ( 2,3, , ) lim n n k k k k k i i i i i i i k k k k n n n i k k k x Ax A x A u u x u u u i n x u + + + + = = + + + + + → + = = = = = + + + = = 由 设 由 得
故只要k充分大,就有 k+1) k+1 k+1 因此,可把x+作为与相应的特征向量的近似 由x6 ≈h+1 aI1 au →x+)≈1x(41为A按模最大的特征值) (k+1) ≈6-(2=12,…m) 其中x为x的第个分量
( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ( 1) ( 1) 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) ( ) 1 [ ( ) ] , ( ) ( 1,2, ) n k k k k i i i i k i k k k k k k k i k i k i k x u u u x x u x u x x x i n A x x + + + + = + + + + + = + = 故只要 充分大，就有 因此，可把 作为与 相应的特征向量的近似。 由 其 为 按模 值 中 最大的特征 ( ) k 为 x i 的第 个分量
乘幂法的收敛速度依赖于比值勹,比值越小,收敛越快。 两点说明: 1)如果x的选取恰恰使得a1=0.,幂法计算仍能进行。 因为计算过程中舍入误差的影响,迭代若干次后,必然 会产生一个向量x6),它在方向上的分量不为零,这样, 以后的计算就满足所设条件。 2)因x6=21a14,计算过程中可能会出现溢出(4|>1) 或成为0(41<1)情形。解决方法:每次迭代所求的向量 都要归一化
2 1 (0) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 0, , 2 , ( 1) 0( 1) k k k x x u x u = = 乘幂法的收敛速度依赖于比值 ，比值越小，收敛越快。 两点说明： ）如果 的选取恰恰使得 幂法计算仍能进行。 因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然 会产生一个向量 它在 方向上的分量不为零，这样， 以后的计算就满足所设条件。 ）因 计算过程中可能会出现溢出 或成为 的情形。解决方法：每次迭代所求的向量 都要归一化
因此,乘幂法实际使用的计算公式: 任取初始向量x∈R通常取x=(l 迭代过程为 m二m图(012)x=m y/mi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 , 11 1 max ( 0,1, 2, ) = / T k k k k i k i n k k k A m k m m − + = = = x R x y x y x y 因此，乘幂法实际使用的计算公式: 任取初始向量 通常取 ＝ ，， ， ， 迭代过程为
例:用乘幂法求矩阵 10 200 2-1 的按模最大的特征值和相应的特征向量 取x0)=(0,0,1),E≤10-3
(0) 3 2 1 0 0 2 1 0 1 2 (0,0,1) , 10 . T A x − − = − − = 例：用乘幂法求矩阵 的按模最大的特征值和相应的特征向量。 取