第八章非线性方程(组)的数值解 今二分法 迭代法 令迭代法的加速( Aitken加速法、 Steffensen迭代法) ◆牛顿迭代法 ◆非线性方程组的迭代法
❖二分法 ❖迭代法 ❖迭代法的加速（Aitken加速法、Steffensen迭代法） ❖牛顿迭代法 ❖非线性方程组的迭代法 第八章 非线性方程（组）的数值解
问题:求解非线性方程 f(x)=0 其中,f是非线性函数 例:代数方程 f(x=anx"+ +a1x+ao=0,n>1. 例:超越方程 f(x=e +sinx=0 1.根的存在性? 2.根的分布范围? 3.如何选择求根法,使之简单、有效、经济?
( ) 0 f x f = ：求解非线性方程 其中， 是非 问题 线性函数. 1 1 1 0 ( ) 0, 1. : ( ) sin 0 n n n n x f x a x a x a x a n f x e x − = + + + + = − = + = ：代数方程 程 例 例 超越方 1.根的存在性？ 2.根的分布范围？ 3.如何选择求根法，使之简单、有效、经济？
§1.非线性方程实根的对分法(二分法) 设f(x)在[a,b]上连续且[a,b]有且仅有一个根又 f(a),f(b)0 1)若 2/=0输出根x=+b atb ,否则;若/+b 2,b=b,反之b=4+b a+b 5)[p]区重渣J)其与手[p a+b 3)若f ≈O,则得到根x a +b
( ) [ , ] [ , ] ( ) ( ) 0 ( ) 0, ( ) 0 f x a b a b f a f b f a f b 设 在 上连续且 有且仅有一个根又 。则可用对分法： 不妨设 1 1 1 1 1 0 , 0 2 2 2 , , . 2 2 a b a b a b f x f a b a b a b b b a a + + + = = + + = = = = ）若 输出根 否则：若 ， 令 ， 反之 1 1 2 2 2) [ , ] 1 [ , ], 对 a b a b 区间重复 ）的计算，并产生 3) 0 . 2 2 a b a b i i i i f x + + 若 ，则得到根 §1. 非线性方程实根的对分法(二分法)
二分法的收敛性 f( 二分法产生一个有根区间 a,b→[a1,b]→…→[an,bn] b b [an,bn]区间长度: b (b (b-a) b t 当n足够大时,取近似值3n, b 误差:|x-x <e 2 n+1 计算简便,容易估计误差,但收敛较慢
二分法的收敛性 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] n n a b a b a b 二分法产生一个有根区间： 1 1 [ , ] 1 1 ( ) ( ) 2 2 n n n n n n n a b b a b a b a − = − = = − − − 区间长度： 2 n n n b a n x + 当 足够大时，取近似值 = ， 1 2 n n b a x x + − 误差： − 计算简便，容易估计误差，但收敛较慢。 a x * x0 b f x( ) a1 b1
f(x)=x-2=0 3→c=2,f(c)=0=x=c; [06]→c=3[0,3]36]→[0,3] →[0,15]1.5,3]→[1.5,3] →[5,225225,3] →1.5,2.25→x≈1.875
( ) ( ) * 2 0 1,3 2; 0 ; 0,6 3; 0,3 , 3,6 0,3 0,1.5 , 1.5,3 1.5,3 1.5,2.25 , 2.25,3 1.5,2.25 1.875 f x x c f c x c c x = − = = = = =
§2.迭代法 改写方程:f(x)=0台x=0(x)且φ连续 建立迭代格式:xn;=(x),得到序列{x 则若{xn}收敛必收敛到f(x)=0的根: 若{x}收敛,即imxn=x,则 1→>0 lim xm=limp( m)=lim xm (x m) →x=qp(x)→f(x)=0
§2. 迭代法 改写方程： f (x) = 0 x =(x)且 连续。 建立迭代格式： ( ) x x x n n n +1 = ，得到序列 { } ( 0 n 则 若 x 收敛必收敛到 f x）= 的根： ( ) ( ) ( ) 1 * 1 * * * { } lim lim lim lim ( ) ( ) 0 n n n n n n n n n n n x x x x x f x x x x x x + → → → → + = = = = = = 若 收敛，即 ，则
x)=x2-1=0→{x=x -x f(x) (x-1) 选取x=x2-1-x a,b]=[0,3 x0=1.2,x1=x0-1-x0;x2=x2-1-x1;
( ) ( ) 2 2 2 0 1 0 2 2 1 1 2 0 1 1 0 1 1 [ [0 3], 1.2, 1 1 ; 1 ; 1 x x x x x x f x x x x x x x x x x x = − = = = − − − = = − − − − − − = − = a b ， 取 , ]= 选
迭代过程的几何表示 x=q(x)分 ∫y=g(x) 交点即为真根 X=y y=x y=0( D
迭代过程的几何表示 y x = ( ) y x = O x* x2 x1 x0 x y P0 Q1 P1 P2 * P Q2 ( ) ( ) y x x x x y = = = 交点即为真根
迭代法需解决的三个问题 迭代函数的构造 由迭代函数产生的解序列的收敛性 序列的收敛速度和误差估计
迭代法需解决的三个问题 迭代函数的构造 由迭代函数产生的解序列的收敛性 序列的收敛速度和误差估计
例:求方程f(x)=x32-x-1=0在x0=1.5附近的根x 解:()将方程改写为x=√x+1 由此建立迭代公式x=xk+1(k=0,12… k 0 7 X1.51.357211.3086 1.324721.32472 迭代收敛
3 * 0 例：求方程 f x x x x x ( ) 1 0 1.5 . = − − = = 在 附近的根 3 3 1 k 1 1 1 ( 0,1,2 ) k 0 1 2 7 8 x 1.5 1.35721 1.33086 1.32472 1.32472 k k x x x x k + = + = + = 解：（ ） 将方程改写为 由此建立迭代公式 迭代收敛