考研模拟
考 研 模 拟
主要掌握的内容提要 ∫A=j 掌握行列式计算及开展定理:∑aA=10,≠ 求A的秩 判别A的n个列(行)相关性 求A的特征值行列式计算 求逆A-1A I2I-A=0 A 讨论AX=0,AX=b的解 判别正定性 、掌握初等变换 求极大无关组 求A的秩及向量组的秩 判别相关性 初等变换 化A为阶梯形 标准形 求A的秩 解方程组「求特征向量(2I-A)X=0 三、掌握矩阵运算及运算性质。特别是:
1 主要掌握的内容提要 一、掌握行列式计算及开展定理： = = 0, . | |, . i j i j a t j t i A A 二、掌握初等变换 三、掌握矩阵运算及运算性质。特别是： 求 A 的秩 判别 A 的 n 个列（行）相关性 求 A 的特征值 | I − A| = 0 行列式计算 求逆 | | * 1 A A A = − 讨论 A X = 0 A X = b nn nn , 的解 判别正定性 求极大无关组 求 A 的秩及向量组的秩 判别相关性 初等变换 化 A 为阶梯形 标准形 求 A 的秩 解方程组 求特征向量 (i I − A)X = 0
(1)定义法:AB=I(抽象矩阵) 1)求A的逆{(2)公式法:A-14 (9变换法:(A1D行变 2)判别逆法:A可逆分AB=I分→|A|≠0分r(A) nxn 分A的n个列(行)无关分→AX=0仅零解 分→A的n个特征值非零。 3)求解矩阵方程:对等式变形化简 4)求A小()A=an1B1n(列乘行),Ak=1-A (2)PAP=A(可对角化),A=PAP1 四、掌握判别向量组的线性相关性,线性组合,求极大无关组 1)线性表示:阝=ka1+k22+…+kna 冷AK=β的解。 n×mmx1 2)向量组a12Q2…m相关性,A=(a12…(m), 有不全为零解k分相关 0)=0(仅当所有=0无关 有非零解分相关 ◇→(2)AK=0 n×mmx1 仅零解⊙无关 r<m分A的m个列相关 今(3)r(A)=r r=m台A的m个列无关
2 1）求 A 的逆 = = − − (3) :( | ) ( | ) | | (2) : (1) : ( ) 1 * 1 A I I A A A A AB I 行变 行变换法 公式法 定义法 抽象矩阵 2）判别逆法： r n n n = = A 可逆 AB I | A | 0 (A) A 的 n 个列（行）无关 A X = 0 nn 仅零解 A 的 n 个特征值非零。 3）求解矩阵方程：对等式变形化简。 4）求 = = = = − − − (2) ( ), . (1) , ( ), . 1 1 1 1 1 P AP Λ A PΛ P A α β A A A k k k k k n n l 可对角化 列乘行 四、掌握判别向量组的线性相关性，线性组合，求极大无关组 1）线性表示： β = k1α1 + k2α2 ++ kmαm A K = β nm m1 的解。 2）向量组 α1 , α2 , ,αm 相关性, ( ) A = α1α2αm , = = = 仅当所有 无关 有不全为零解 相关 0 (1) 1 i i m i i i k k k α 0 = 仅零解 无关 有非零解 相关 (2) 0 n m m 1 A K = = . . (3) ( ) 的 个列无关 的 个列相关 r m m r m m r r n m A A A >
五、掌握行初等变换解方程组及解结构 1)理解三个参数η,r(A),r(A|b)→掌握解定理。 2)r(A)=r,设AX=0的基础解系为X1X2,…Xn-r, 解空间:N(A)={X|AX=0)},dimN(A)=n-r(A)=解空间N(4) 中极大无关解个数。 3)AX=b解结构 非齐次通解=XC齐次通解+非齐次特解 (KX+k2x2+.+kmn-rXn-r)+n 六、掌握求特征值及特征向量 1)AX=AX,X≠0(定义) 2)|AI-A|=0,求λ2。(若|40I-A|=0,A0必是A的特征值。) 3)(λ,Ⅰ-A)X=0,齐次方程组非零解集就是λ的特征向量。 七、掌握A对角化充要条件,判别A可否对角化 求可逆P,使PAP= 其中P=(01,2,…,an)的n个列必是A的对应于特征值 λ,石2,…凡n的线性无关特征向量 A对角化实质是计算行列式及解齐次方程组
3 五、掌握行初等变换解方程组及解结构 1）理解三个参数 n,r(A),r(A|b) 掌握解定理。 2） r(A) = r, 设 AX = 0 的基础解系为 X X Xn−r , , , 1 2 ， 解空间： N(A) ={X| AX = 0}, dimN(A) = n − r(A) = 解空间 N(A) 中极大无关解个数。 3） AX = b 解结构 X非齐次通解 = XC齐次通解 + η非齐次特解 = (k1X1 + k2X2 ++ kn−rXn−r ) + η 六、掌握求特征值及特征向量 1） AX = X, X 0 （定义） 2） | I − A| = 0 ，求 i 。（若 | 0 I − A | = 0，0 必是 A 的特征值。） 3） (i I − A)X = 0 ，齐次方程组非零解集就是 i 的特征向量。 七、掌握 A 对角化充要条件，判别 A 可否对角化 求可逆 P ，使 = − n 1 1 P AP ， 其 中 ( , , , ) P = α1 α2 αn 的 n 个 列必 是 A 的 对 应于 特征 值 n , , , 1 2 的线性无关特征向量。 A 对角化实质是计算行列式及解齐次方程组
特别关注: (1)对称阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。(用于求 参数及另一些特征向量) (2)对称阵A必相似于对角阵 八、掌握正交变换化二次型为标准形 1)f=X AX X=CY正交阵 42+2y2+…+ny2 对称阵A,存在正交阵C,使 A1 C AC=C AC= 正交变换化二次型实质是求特征值与特征向量,再把特征向量正 交单位化。 2)了解二次型正定的一些充要条件(判别法)。 主要掌握用正定的定义及A的顺序主子式判别法
4 特别关注： （1）对称阵 A 的不同特征值对应的特征向量是正交的。（用于求 参数及另一些特征向量） （2）对称阵 A 必相似于对角阵。 八、掌握正交变换化二次型为标准形 1） 2 2 2 2 2 1 1 n n T f y + y + + y = = X CY正交阵 X AX 对称阵 A ，存在正交阵 C ，使 = = − n T 1 1 C AC C AC 正交变换化二次型实质是求特征值与特征向量，再把特征向量正 交单位化。 2）了解二次型正定的一些充要条件（判别法）。 主要掌握用正定的定义及 A 的顺序主子式判别法
2001年考题类型及题要 填|数一求逆。A2+A-4I=0,求(A-D)。 题|数二方程组。AX=b有无穷多解,求参数a 选|数一相似合同。矩阵A与B是否相似合同选择。 题数 1)基础解系,行列式。已知AX=0的一组基础解系,若 数一另一组解向量也是基础解系,求参数 2)相似,行列式。由AP=BP求B及|I+A 1)矩阵方程。已知A,B,AXA+BXB=AXB+BXA+I 数二求X 2)基础解系,行列式。与数一的(1)题类似。 2002年考题类型及题要 正交变换相似合同。二次型∫经正交变换化标准形,求参 数 数二特征值。已知数字矩阵A,求非零特征值。 数一秩与方程组。三平面相交情况的选择。 线性关系。由向量组的线性表示,判别向量组的相关,无 题数二 关性 证数一1)线性关系及方程组。已知向量组构成A及其线性关系
5 2001 年考题类型及题要 填 空 题 数一 求逆。A + A − 4I = 0 2 ，求 1 ( ) − A − I 。 数二 方程组。AX = b 有无穷多解，求参数 a。 选 择 题 数一 相似合同。矩阵 A 与 B 是否相似合同选择。 数二 计 算 证 明 题 数一 1）基础解系，行列式。已知 AX = 0 的一组基础解系，若 另一组解向量也是基础解系，求参数。 2）相似，行列式。由 AP = BP 求 B 及 |I + A | 数二 1）矩阵方程。已知 A,B，AXA +BXB = AXB +BXA+ I, 求 X。 2）基础解系，行列式。与数一的（1）题类似。 2002 年考题类型及题要 填 空 题 数一 正交变换相似合同。二次型 f 经正交变换化标准形，求参 数。 数二 特征值。已知数字矩阵 33 A ，求非零特征值。 选 择 题 数一 秩与方程组。三平面相交情况的选择。 数二 线性关系。由向量组的线性表示，判别向量组的相关，无 关性。 题 明 证 数一算 计1）线性关系及方程组。已知向量组构成 A 及其线性关系
求AX=阝的通解 2)证明相似阵特征多项式相等,举例说明反之不真。 1)证明矩阵的逆。已知,2A-B=B-4I,证A-21可逆, 数二已知B求A。 2)与数学一的1)题相同。 2003年考题类型及题要 数一求两基过渡阵。求二维向量a1,a2到1,B2的过渡阵。 题/数、/1)已知a0=A,计算aa,a是3维列向量。 2)乘法,行列式。已知A,A2B-A-B=I,求B|。 1)两组向量线性关系。组可由组线性表示,由两组 选/数个数r,s的大小,选择向量组的相关性。 2)两个方程组解关系。AX=0与BX解关系选r(A)与 r(B)关系。 数二与数一的1)题相同 1)求特征值与特征向量已知A,P,B=PA'P,求B+2I 计数一的特征值特征向量 算证明题 2)方程组解,秩,行列式。证三直线交一点的充要条件 1)对角化问题:已知A,PAP=A,求参数及矩阵P 数二 2)与数一(2)题相同
6 求 AX = β 的通解。 2）证明相似阵特征多项式相等，举例说明反之不真。 数二 1）证明矩阵的逆。已知， 2A B B 4I 1 = − − ，证 A − 2I 可逆， 已知 B 求 A。 2）与数学一的 1）题相同。 2003 年考题类型及题要 填 空 题 数一 求两基过渡阵。求二维向量 1 2 α , α 到 1 2 β , β 的过渡阵。 数二 1）已知 αα = A T ，计算 α α T ，α 是 3 维列向量。 2）乘法，行列式。已知 A A B − A −B = I 2 , ，求 |B|。 选 择 题 数一 1）两组向量线性关系。 r I 组可由 s II 组线性表示，由两组 个数 r, s 的大小，选择向量组的相关性。 2）两个方程组解关系。 AX = 0 与 BX 解关系选 r(A) 与 r(B) 关系。 数二 与数一的 1）题相同。 计 算 证 明 题 数一 1）求特征值与特征向量。已知 A P B P A P 1 * , , − = ，求 B + 2I 的特征值特征向量。 2）方程组解，秩，行列式。证三直线交一点的充要条件。 数二 1）对角化问题：已知 = − A P AP 1 , ，求参数及矩阵 P 。 2）与数一（2）题相同
2004年考题类型及题要 填|数一|矩阵方程。已知A,ABA=2BA+I,求B|。 题数二与数一相同。 选/数1)初等矩阵的作用。 择 2)线性相关性。AB=0,A,B的行,列线性相关选择。 数二与数一相同 1)带参数齐次方程组AX=0解的讨论及求通解 计|数 nxn 2)对角化。A有二重特征值求参数,讨论A是否可对角化 1)带参数的AX=0的解讨论,并求通解。 题数二 2)数一的2)题相同。 2005年考题类型及题要 矩阵行列式。|A|=(1a23)=1,求 数 B|=a1+a2+a3,1+22+43,(1+30 数二(相同) 1)特征值与特征向量线性无关选择。 选数-2)初等变换初等矩阵。A两行交换变为B,则A与B关 题 系选择。 数二与数一相同 证|数一1)正交变换化二次型
7 2004 年考题类型及题要 填 空 题 数一 矩阵方程。已知 A ABA = BA + I * * , 2 ，求 |B|。 数二 与数一相同。 选 择 题 数一 1）初等矩阵的作用。 2）线性相关性。 AB = 0, A, B 的行，列线性相关选择。 数二 与数一相同 计 算 证 明 题 数一 1）带参数齐次方程组 A X = 0 nn 解的讨论及求通解。 2）对角化。 A 有二重特征值求参数，讨论 A 是否可对角化。 数二 1）带参数的 A X = 0 44 的解讨论，并求通解。 2）数一的 2）题相同。 2005 年考题类型及题要 填 空 题 数一 矩阵行列式。 | A | = | (α1 α2 α3 ) | =1 ，求 | | | , 2 4 , 3 9 | B = α1 + α2 + α3 α1 + α2 + α3 α1 + α2 − α3 。 数二 （相同） 选 择 题 数一 1）特征值与特征向量线性无关选择。 2）初等变换初等矩阵。 A 两行交换变为 B ，则 * A 与 * B 关 系选择。 数二 与数一相同。 题 明 证 数一算 计1）正交变换化二次型
已知∫=(1-a)x12+(1-a)x2+2x3+2(1+a)x1x2,求a及 正交变换化f为标准形。 2)解方程组。已知带参数的A,B,AB=0,求AX=0通 解。 1)两向量组线性表示。向量组I可由向量组Ⅱ线性表示, 数二但向量组不能由(I)表示,求参数 2)与数学一的2)题相同。 2006年考题类型及题要 地填|数一|矩阵乘法及行列式。已知ABA=B+21,求B| 数二(相同) 1)向量组相关性。由1,(2…、相关,无关,选择 选|数一Aa1,Aa2…,Aa3的相关,无关性。 2)初等矩阵问题。 数二与数一相同。 1)AX=b解结构。由AX=b的三个无关解,证r(A)=2, 3×4 计 求参数及通解。 证|数一2)特征问题。由已知对称阵的每行元素之和3,AX=0两 解为α1,α2,求A的特征值特征向量,求正交阵Q,使 QAQ=A对角阵
8 已知 1 2 2 3 2 2 2 1 f = (1− a)x + (1− a)x + 2x + 2(1+ a)x x ，求 a 及 正交变换化 f 为标准形。 2）解方程组。已知带参数的 A, B, AB = 0 ，求 AX = 0 通 解。 数二 1）两向量组线性表示。向量组 I可由向量组 II 线性表示， 但向量组 II 不能由（I）表示，求参数。 2）与数学一的 2）题相同。 2006 年考题类型及题要 填 空 题 数一 矩阵乘法及行列式。已知 A , BA B 2I 2 2 = + ，求 |B|。 数二 （相同） 选 择 题 数一 1）向量组相关性。由 α α αs , , , 1 2 相关，无关，选择 Aα Aα Aαs , , , 1 2 的相关，无关性。 2）初等矩阵问题。 数二 与数一相同。 计 算 证 明 题 数一 1） AX = b 解结构。由 A X = b 34 的三个无关解，证 r(A) = 2， 求参数及通解。 2）特征问题。由已知对称阵的每行元素之和 3，AX = 0 两 解为 1 2 α , α ，求 A 的特征值特征向量，求正交阵 Q ，使 Q AQ = T 对角阵
数 模拟题(一) 、填空题 则B/=312/E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E, 1)A 思路]BA=B+2E→B(A-D)=2E→1B|=12E=4=2 2)已知a12a2为2维列向量,矩阵A=(201+a2,a1-02), B=(a1,a2),若行列式A|=6,则B [思路]A|=|201+a2,01-02|3011-02=3|01,1-02 -3|B|=6B|=-2 二、选择题 1)设a1,2,…、均为n维列向量,A是mXn矩阵,下列选项 正确的是((A)) (A)若a1,2…,a线性相关,则Aa1,A2…,Aa3线性相关。 (B)若u1,a2,…,a3线性相关,则A12A2,…,Aa线性无关 (C)若1,2…线性无关,则Aa1,Aa2…,Aa线性相关。 (D)若a1,2…,a线性无关,则Aa1,Aa2…,Aa3线性无关。 [思路]由相关式ku1+k2a2+…+ka3=0
9 数二 模拟题（一） 一、填空题 1） − = 1 2 2 1 A ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA = B+ 2E， 则 |B| = 2 。 [思路] 2 2 4 | | | 2 | 2 ( ) 2 | | = = − = + − = = A I E B A B E B A I E B 2）已知 1 2 α , α 为 2 维列向量，矩阵 (2 , ) A = α1 + α2 α1 −α2 ， ( , ) B = α1 α2 ，若行列式 | A | = 6 ，则 |B| = –2 。 [思路] | | | 2 , | | 3 , | 3| , | A = α1 + α2 α1 −α2 = α1 α1 −α2 = α1 α1 −α2 = 3| α1 , −α2 |= −3|B| = 6 |B| = −2。 二、选择题 1）设 α α αs , , , 1 2 均为 n 维列向量， A 是 m n 矩阵，下列选项 正确的是（（A）） （A）若 α α αs , , , 1 2 线性相关，则 Aα Aα Aαs , , , 1 2 线性相关。 （B）若 α α αs , , , 1 2 线性相关，则 Aα Aα Aαs , , , 1 2 线性无关。 （C）若 α α αs , , , 1 2 线性无关，则 Aα Aα Aαs , , , 1 2 线性相关。 （D）若 α α αs , , , 1 2 线性无关，则 Aα Aα Aαs , , , 1 2 线性无关。 [思路] 由相关式 k1α1 + k2α2 ++ ksαs = 0