北京邮电大学2005-2006学年第1学期 (复变函数》期末考试试题(A)标准答案 填空题(4×10=40分) 1.一复数对应的向量按逆时针方向旋转3时对应的复数为1+则原复数是 解依题意,有e3=1+;,所以:z=e-(1+) l√3 (4分) 2.函数f(x)=(x2-y2+ax+by)+i(cry+3x+2y)在复平面内处处解析,则 (a, b, c) 解因为u=x2-y2+ax+by,U=cry+3x+2y处处可微,且 ur=2r+a, uy=-2y+b, vx=cy+3, Uy= CI+ 2, 满足CR条件,故(a,b,c)=(2,2,-3)(4分) 3.如果C是正向圆周:=2 1,则中a=m 解根据柯西积分公式,有 dz 2ri 1)2」 =2n.(4分) z=0 4.设C是正向圆周:|z=÷,则积分 SInz 解因为被积函数在C内处处解析,根据柯西-古萨定理,有 sinz-dz=0 (4分) 5幂级数∑(3+4)2的收敛半径是 幂级数 n=0 n=0 的收敛半径是:
1 >CGA?F 2005-2006 FD@ 1 FE hh -Æ: ii keM (A) 9 P (4 × 10 = 40 +) 1. ,'#!Xhz0*8 2π 3 z'#!, 1 + i, -*,~ . B !& ze 2π 3 i = 1 + i, z = e− 2π 3 i (1 + i) = − 1 2 + √ 3 2 − i 1 2 + √ 3 2 ! (4 +). 2. 9 f(z) = (x 2 − y 2 + ax + by) + i(cxy + 3x + 2y) ,,jcfH- (a, b, c) = . B " u = x 2 − y 2 + ax + by, v = cxy + 3x + 2y O n ux = 2x + a, uy = −2y + b, vx = cy + 3, vy = cx + 2, `< C-R E6 (a, b, c) = (2, 2, −3)(4 +). 3. t7 C ~1+5 : |z| = 1 2 , - I C e z z(z − 1)2 dz = . B 2JN?+3|& I C e z z(z − 1)2 dz = I C e z (z − 1)2 z dz = 2πi e z (z − 1)2 z=0 = 2πi. (4 +) 4. y C ~1+5 : |z| = 1 2 , -?+ I C sinz e − e z dz = . B " ?9, C fH2JN - 5u$T& I C sinz e − e z dz = 0. (4 +) 5. bC X∞ n=0 (3 + 4i) n z n !VI~ , bC X∞ n=0 sin 1 n z n !VI~ .
解幂京数∑(3+4)”2n意收敛半径是士(2圆,幂京数∑(sm)2意收敛 半径是1(2圆 6.设C是沿y=√1-旋(1,0到(01)意一有有向曲线收则/ldz= 解因为填大准数∫(x)=lz在除去α轴负半轴意区域内解析收根据牛顿-莱 布尼兹公式收有 Inzdz= [zlnz-a 7.洛朗京数 2-2)意收敛圆北是数 解收敛圆北是数1<|z-2|<2 (4圆) 8.设∫(x)=21则Resf(x),-引= 解因为-i是f()意一京第因收所以数 ReU(),-引=m(2+1)2+1=2 (4圆) 9.设z=0是f()=22 m:-cs5意m京第因收则m 且Resf(x),0 解因为z=0是sinz(1-cosx)意三京零因收所以z=0是f()意一京第因收 解m=1(2圆),西且 Res[f(=),0]= lim z 2. (2圆) Sln之 映射u 学圆x2+y2<4映成平面上意 解在圆周x2+y2=4上选取三因数-2,2,2,在映射v 下收它们意像 圆析是数 1+i1+t1 于是收根据圆式线性映射意题圆性收映射 学 圆周x2+y2=4映成平面上意圆周数x2+n2
2 B bC X∞ n=0 (3 + 4i) n z n !VI~ 1 5 (2 +), bC X∞ n=0 sin 1 n z n !V I~ 1(2 +). 6. y C ~ y = √ 1 − x2 (1, 0) (0, 1) ! &&q- Z C lnzdz = . B " ?9 f(z) = lnz ,s x 6.6!p)fH2Ji( - R g:3|& Z C lnzdz = [zlnz − z] z=i z=1 = ilni − i + 1. (4 +) 7. _SC X∞ n=0 1 (z − 2)n + X∞ n=0 (z − 2)n 2 n !V+>~ . B V+>~ 1 < |z − 2| < 2. (4 +) 8. y f(z) = e z z 2 + 1 , - Res[f(z), −i] = . B " −i ~ f(z) ! C@" Res[f(z), −i] = lim z→−i (z + i) e z z 2 + 1 = e −i i 2 . (4 +) 9. y z = 0 ~ f(z) = z 2 sinz(1 − cosz) ! m C@"- m = , n Res[f(z), 0] = . B " z = 0 ~ sinz(1 − cosz) !vCZ" z = 0 ~ f(z) ! C@" B m = 1(2 +), n Res[f(z), 0] = lim z→0 z · z 2 sinz(1 − cosz) = 2. (2 +) 10. $x w = 1 + i z F+ x 2 + y 2 < 4 $ w jcw! . B ,+5 x 2 + y 2 = 4 wrv" −2, 2, 2i, ,$x w = 1 + i z a! +~ − 1 + i 2 , 1 + i 2 , 1 − i 2 . (~2J+|$x! +$x w = 1 + i z F +5 x 2 + y 2 = 4 $ w jcw!+5 u 2 + v 2 = 1 2 .
对因为x2+y2(圆) 数年按下列正题(4×7=28圆) 1年按大圆2,其中收间≠1,≠0C是正向单变分古数 径一l>1时收填大准f()=(2-05复单变分内有一针奇因=0根 据柯西大圆公式收以数 Cos之 2(2-a2) l<1时收填大准f(2)=3一复单变分内有三针奇因:=0,-aa 复C作三条互不题转收互不相邮意微曲线C1,C2和C3,圆析题转0,-a和a.根据 在足微路定理和柯西大圆公式收以数 cos之 COSz cos之 Cos之 COSZ CoSZ 222 +2x z=0 之(z-a 2(z+a 1)i (4圆) 2.求准f(z) 2(2+1)2复扩向在平面内意孤立奇因处意留.数 解z=0是f(x)意可去奇因收z=-1是∫(x)意2京第因收z=∞是f(x)意 条性奇因(1圆).案以 Resf(z),0=0;(2圆) Res[f(z),1 ma(2+1)2.-sm2 2(z+1)2 d「sin2z =-2cos2+sin2.(2圆) 根据f(x)复案有正孤立奇因处意留.意总和为零收以 Res[f(a), oo]=-ResIf(a),0][(a),1= 2cos2-sin2.(2 A)
3 '" x 2 + y 2 1 2 (4 +). )DY1 (4 × 7 = 28 +) 1. D?+ I C cosz z(z 2 − a 2) dz, l4 |a| 6= 1, a 6= 0, C ~1 Æ+5 I |a| > 1 z ?9 f(z) = cosz z(z 2 − a 2) , Æ+f& 0m" z = 0, 2 JN?+3| I C cosz z(z 2 − a 2 ) dz = 2πi cosz z 2 − a 2 z=0 = − 2πi a 2 . (3 +) |a| < 1 z ?9 f(z) = cosz z(z 2 − a 2 ) , Æ+f&v0m" z = 0, −a, a. , C =v =8=G! q C1, C2 ; C3, +8 0, −a ; a. 2J ,< ]$T;N?+3| I C cosz z(z 2 − a 2) dz = I C1 cosz z(z 2 − a 2) dz + I C2 cosz z(z 2 − a 2) dz + I C3 cosz z(z 2 − a 2) dz = 2πi cosz z 2 − a 2 z=0 + 2πi cosz z(z − a) z=−a + 2πi cosz z(z + a) z=a = 2π(cosa − 1)i a 2 . (4 +) 2. o9 f(z) = sin2z z(z + 1)2 ,Q,jcf!4Um"![ B z = 0 ~ f(z) !Osm" z = −1 ~ f(z) ! 2 C@" z = ∞ ~ f(z) ! m" (1 +). Res[f(z), 0] = 0; (2 +) Res[f(z), −1] = 1 1! lim z→−1 d dz (z + 1)2 · sin2z z(z + 1)2 = lim z→−1 d dz sin2z z = −2cos2 + sin2. (2 +) 2J f(z) ,&14Um"![!;; Z Res[f(z),∞] = −Res[f(z), 0] − Res[f(z), −1] = 2cos2 − sin2. (2 +)
3.计算积分 dz,其中C是正向圆周:|z=2 之COS之 解被积函数—在|z|<2内有三个奇点:z=0和 它们都是一级 极点(2分)所以 Res[f(2),0 1;(1分) Acos Res f(2), (acos ) (1分) Res [f(2),-5 2 (acos) (1分) 所以 dz=2i Res[f(a),0)+Res f(a),+Res f(a) (2分) 4.计算积分p2e-tdz,其中,C是正向单位圆周 解被积函数f(2)=2e在0<|<+∞内解析,它的洛朗展开式是: 少xx (5分) 所以 22e-=dx= 2Ti Res[f(a),0)=2Tic-1 丌.(2分) 三(10分求函数f(2)=在圆环域:(1)0<|-i<1;(2)1<|2-i<+∞ 内的洛朗级数展开式 解注意到=0是函数的奇点,故∫(2)分别在这两个圆环域内是处处解 析的,可以展开成洛朗级数
4 3. D?+ I C 1 zcosz dz, l4 C ~1+5 |z| = 2. B ?9 1 zcosz , |z| ) (1) 0 )f~H !O .K_SC
1)当00映射成单位圆 l0) (2分) 由条件f()=0知,所求的映射将点z=i映射成单位圆周的圆心v=0.所以 f()=e (3分) 因为 f(x)=e° (z+i)2 故有 f(i)=e°(--) 所以 argf(i)= arge +arg( e+(-2 (3分) 于是所求映射为
5 (1) 0 0 $x Æ+ |w| 0). (2 +) % E f(i) = 0 3o!$xF" z = i $x Æ+5!+ w = 0, f(z) = eiθ z − i z + i . (3 +) " f 0 (z) = eiθ 2i (z + i) 2 , 6& f 0 (i) = eiθ(− i 2 ). argf 0 (i) = argeiθ + arg(− i 2 ) = θ + (− π 2 ) = π 2 , θ = π. (3 +) (~o$x w = − z − i z + i . (1 +)
五(7分).如果f(x)=x2+g(y)+iv(x,y)是解析函数,且f()=f'(0)=0,求实 函数g(y),v(x,y)及f(x).提示:根据x2+9(y)是调和函数求g(y) 解因为u(x,y)=x2+g(y)是调和函数,所以 zx+uy=2+g"(y)=0 所以g"(y)=-2,得9(y)=-y2+C1y+C2,(3分) 根据C-R方程,有 2x,所以 v(a, y) +h(a)=2 ry+h(a), 又因为tx=-uy=2y-C1,于是有 2y+h(a)=2y-C 所以h(x)=-C1,得h(x)=-C1x+C3于是,有 v(a, y) Clr+C3 所以 f(z) +C1y+C2+(2xy-C1x+C3)(3分 根据f(0)=0,得:C2=C3=0.根据f(0)=0,得:C1=0.所以 f()=x2-y2+2xryi.(1分) 六(6分)已知f(x)在0<|z<1内解析,且 lim zf(2)=1 (1)证明:z=0是f(x)的一级极点; (2)求Res(2),0.提示:考虑xf(2)在0<|2<1内的洛朗级数 证因为zf(z)在0<|z<1内解析,并且1imxf(x)=1,所以f()在该圆环 域内的洛朗级数是 zf(2)=1+c1z+c2+c323+ (3分) 于是 f(x)=-+c1+c2z+ (1分) 所以z=0是f(z)的一级极点(1分),且Resf(z),]=1(1分)
6 (7 +). t7 f(z) = x 2 + g(y) + iv(x, y) ~H9n f(0) = f 0 (0) = 0, o{ 9 g(y), v(x, y) A f(z). [}2J x 2 + g(y) ~#;9o g(y)] B " u(x, y) = x 2 + g(y) ~#;9 uxx + uyy = 2 + g 00(y) = 0, g 00(y) = −2, g(y) = −y 2 + C1y + C2. (3 +) 2J C-R *& vy = ux = 2x, v(x, y) = Z 2xdy + h(x) = 2xy + h(x), '" vx = −uy = 2y − C1, (~& 2y + h 0 (x) = 2y − C1, h 0 (x) = −C1, h(x) = −C1x + C3. (~& v(x, y) = 2xy − C1x + C3. f(z) = x 2 − y 2 + C1y + C2 + (2xy − C1x + C3)i (3 +) 2J f(0) = 0, C2 = C3 = 0. 2J f 0 (0) = 0, C1 = 0. f(z) = x 2 − y 2 + 2xyi. (1 +) \ (6 +). 3 f(z) , 0 )f!_SC~ zf(z) = 1 + c1z + c2z 2 + c3z 3 + · · · , (3 +) (~ f(z) = 1 z + c1 + c2z + c3z 2 + · · · , (1 +) z = 0 ~ f(z) ! C@" (1 +), n Res[f(z), 0] = 1(1 +).