五、质量为M的绝热薄壁容器处于远离其他星体的太空（可视为真空）中。在某惯性系中观 察，该容器的初始速度为零。容器的容积为V,容器中充有某种单原子分子理想气体，气体 的初始分子数、分子质量分别为N。、m,气体的初始温度为T。。1=0时容器壁上出现面积为 S的一个小孔，由于小孔漏气导致容器开始运动，但容器没有转动。假设小孔较小，容器中的 气体在泄漏过程中始终处于平衡态。己知气体分子速度沿x方向的分量。，的麦克斯韦分布函 效为@)广品9一器)(k为孩尔装曼常量)。在激漏过程中，求： (1)当气体的分子数密度为、温度为T时在单位时间内从小孔单位面积泄出的气体分子数： (2)当容器中气体温度为T时，从小孔泄出的气体分子相对于容器的平均动能： (3)1时刻容器中气体的温度： (4)1时刻容器运动速度的大小（假设M>N。m)。 己知积分公式： 参考解答： (1)设小孔垂直于x方向。在d:时间范围内泄出小孔的气体分子数等于处于小孔内侧体积为 v,Sd:柱体中垂直小孔方向速度分量在，到v,+d忆，范围内的气体分子数。该柱体中的符合条 件的气体分子数为n,Sv.did加，其中n,为速度为o,的气体分子的分子数密度，其与分子数密 度n的关系为 no.=nf(v)=n V2 krexp(、年) ① 小孔处单位时间单位面积泄出气体的平均分子数为 kT Ndooexp( ② 2kT (2)在当气体温度为T时，泄出气体分子的平均动能为 Ex N62mo%,0,d记，+k灯 ③ 其中kT为气体分子垂直于x方向速度对平均动能的贡献。将①和②式代入③式得 1 1 VTvexp(-元)，+kT m -111, kT Jo 2 2kT V2πm ④ 1 m +kT =2kT (3)由于小孔垂直于x方向，考虑到对称性，气体泄出后，容器运动速度沿x轴负方向。设 在时刻1容器中气体的分子数为N,容器整体运动速度大小为：在时刻1+d!容器中气体的 分子数为N+dW,容器整体运动速度大小为u+d!。此过程中整个体系的动量守恒 (M+Nm)u=[(M+Nm+mdN)(u+d)]-mdW(u-⑦，) ⑤ 其中可为d!时间内泄出的气体分子在x方向上的平均速度大小，注意dW为负值。化简后并去五、质量为 M 的绝热薄壁容器处于远离其他星体的太空（可视为真空）中。在某惯性系中观 察，该容器的初始速度为零。容器的容积为V ，容器中充有某种单原子分子理想气体，气体 的初始分子数、分子质量分别为 N0 、m ，气体的初始温度为T0 。t  0 时容器壁上出现面积为 S 的一个小孔，由于小孔漏气导致容器开始运动，但容器没有转动。假设小孔较小，容器中的 气体在泄漏过程中始终处于平衡态。已知气体分子速度沿 x方向的分量 x v 的麦克斯韦分布函 数为 2 ( ) exp( ) 2π 2 x x m m f kT kT   v v （ k 为玻尔兹曼常量）。在泄漏过程中，求： （1）当气体的分子数密度为 n、温度为T 时在单位时间内从小孔单位面积泄出的气体分子数； （2）当容器中气体温度为T 时，从小孔泄出的气体分子相对于容器的平均动能； （3）t 时刻容器中气体的温度； （4）t 时刻容器运动速度的大小（假设 M  N m0 ）。 已知积分公式： 2 0 1 e d 2 Ax x x A     ， 2 2 3 0 1 π e d 4 Ax x x A     ， 2 3 2 0 1 e d 2 Ax x x A     参考解答： （1）设小孔垂直于 x 方向。在dt 时间范围内泄出小孔的气体分子数等于处于小孔内侧体积为 d x v S t 柱体中垂直小孔方向速度分量在 x v 到 d x  x v v 范围内的气体分子数。该柱体中的符合条 件的气体分子数为 d d x x x nS t v v v ，其中 x nv 为速度为 x v 的气体分子的分子数密度，其与分子数密 度 n 的关系为 2 ( ) exp( ) 2π 2 x x x m m n nf n kT kT v   v v ① 小孔处单位时间单位面积泄出气体的平均分子数为 0 0 2 d d ex 2π 2π p( ) 2 x xx x x m kT m x n nn kT T m N k         v vv v v v 泄 ② （2）在当气体温度为T 时，泄出气体分子的平均动能为 2 k 0 1 1 2 x E m n d kT x xx N     泄 v v vv ③ 其中 kT 为气体分子垂直于 x 方向速度对平均动能的贡献。将①和②式代入③式得   3 2 k 0 2 1 1 d 2 2π 2 e π 11 1 xp( 2 2 2π 2 /2 2 2 π ) x x m x kT k m E kT T k n m m kT kT kT kT m m T kT        mn v v m v ④ （3）由于小孔垂直于 x 方向，考虑到对称性，气体泄出后，容器运动速度沿 x 轴负方向。设 在时刻t 容器中气体的分子数为 N ，容器整体运动速度大小为u ；在时刻t t  d 容器中气体的 分子数为 N N  d ，容器整体运动速度大小为u u  d 。此过程中整个体系的动量守恒    M Nm u M Nm m N u u m N u         ddd    x    v ⑤ 其中 x v 为dt 时间内泄出的气体分子在 x 方向上的平均速度大小，注意dN 为负值。化简后并去