泛函分析习题辅导 1.是否任何线性空间必含零向量?是否任何赋范空问 中的零向量的范数必相等? 答是;是 2.完备的距离空间是否为巴拿赫空间? 不一定 3.设X,Y都是赋范空间,X×Y={(x,):x∈x,∈ Y},在X×Y上定义线性运算如下: (21,31)+(x3,b2)=(x1+x3,D1+M), a(a, y)=(az, ay). 又在XxY上定义 I(a,y)=l=l+lyl, 证明XxY为赋范空间 篷容易证明X×Y是线性空间现证1·I满足范数公 理 (i)显然lzl≥0, (x,)=0←→lx+ll=0 my=0>(x,)=(0,0) la(z, v)l-l(az, an)I elazI+layl s lalI(r, v)1. (i)l(z1,vh)+(x,v)l=l(x1+g3,v1+2)l la,+=,l+lu,+yl ≤lall+ll+l2l+lvl =l(x1,1)l+l(x3,v)l 故 X×Y按·l成为赋范空问泛函分析习题辅导