若当n越大时,分割越来越细,并且当n→∞时,A=maxx-x-1|→0,则{fn}单 调上升趋近于∫,并且由 Riemann积分的定义得到 inJn(x)d=」f(x)t 其几何意义就是曲线y=f(x)的下方图形的面积可以由其内接阶梯形的面积逼近(如上 图)这启发我们用下述方式重新定义 Riemann积分 设l1…是b的n个互不相交的子区间,并且ab=Um1若f(x)是一 非负阶梯函数,当x∈1时,f(x)=a1则定义 ∫(xlk=∑m (3) 其中是区间l的长度,若f(x)是非负函数并且存在一列单调上升的非负阶梯函数 n}使得imf(x)=f(x)2并且im(x)<∞,则定义 lim f, (x)dx= f(x)du 一般情形,令 f(x)=maxf(x),0), f(x)=max(-f(x), O) 则∫(x),f(x)是非负函数,并且f(x)=f(x)-f(x).若∫(x)和∫(x)都可积 则定义 ∫(x)dx=J(xk-Jr(x)t 这种方式定义的积分于 Riemann积分是一样的按照这种定义方式,一个非负函数可积 必须能够用单调上升的非负阶梯函数列逼近∫.这就要求∫基本上是连续函数 为对更一般的函数定义积分,现在将阶梯函数改为更一般的函数.设A1…,A是 ab]的n个互不相交的子集,并且[ab]=Um4.若f(x)是ab]上的函数,当 x∈A时,f(x)=a1(a1≥0)(暂称之为一般简单函数)形式上仿(3)式定义 ∫(x)=∑m4 问题是这里A不一定是区间,4表示什么?4应该是一种类似区间长度的东西如 果我们能够给出A确切涵义,使得4满足区间长度类似的性质我们就能用(6)式定 义上述一般非负简单函数的积分.然后利用(4)和(5)式定义一般函数的积分.由于一般简 单函数比阶梯函数更一般,因此能够被一般简单函数逼近的函数也更多,因此可以对更3 若当 n 越大时, 分割越来越细, 并且当 n → ∞ 时, max 0, 1 1 = − − → ≤ ≤ i i i n λ x x 则{ }n f 单 调上升趋近于 f , 并且由 Riemann 积分的定义得到 lim ( ) ( ) . ∫ ∫ = →∞ b a b a n n f x dx f x dx 其几何意义就是曲线 y = f (x) 的下方图形的面积可以由其内接阶梯形的面积逼近(如上 图). 这启发我们用下述方式重新定义 Riemann 积分. 设 n I , ,I 1 L 是[a, b] 的 n 个互不相交的子区间, 并且[ , ] . U 1 n i i a b I = = 若 f (x) 是一 非负阶梯函数, 当 i x ∈ I 时, ( ) .i f x = a 则定义 ∫ ∑= = n i i i b a f x dx m I 1 ( ) . (3) 其中 i I 是区间 i I 的长度. 若 f (x) 是非负函数并且存在一列单调上升的非负阶梯函数 { }n f 使得 lim f (x) f (x), n n = →∞ 并且 < ∞ ∫ →∞ b a n n lim f (x)dx , 则定义 lim ( ) ( ) . ∫ ∫ = →∞ b a b a n n f x dx f x dx (4) 一般情形, 令 f (x) = max{ f (x), 0}, f (x) = max{− f (x), 0} + − . 则 f (x), + f (x) − 是非负函数, 并且 f (x) f (x) f (x). + − = − 若 f (x) + 和 f (x) − 都可积. 则定义 ( ) ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ + − = − b a b a b a f x dx f x dx f x dx (5) 这种方式定义的积分于 Riemann 积分是一样的.按照这种定义方式, 一个非负函数可积 必须能够用单调上升的非负阶梯函数列逼近 f .这就要求 f 基本上是连续函数. 为对更一般的函数定义积分, 现在将阶梯函数改为更一般的函数.设 A An , , 1 L 是 [a, b] 的 n 个互不相交的子集, 并且[ , ] . U 1 n i a b Ai = = 若 f (x) 是[a, b] 上的函数, 当 Ai x ∈ 时, ( ) = ( ≥ 0) i i f x a a (暂称之为一般简单函数). 形式上仿(3)式定义 ∫ ∑= = n i i i b a f x dx m A 1 ( ) . (6) 问题是这里 Ai 不一定是区间, Ai 表示什么? Ai 应该是一种类似区间长度的东西. 如 果我们能够给出 Ai 的确切涵义, 使得 Ai 满足区间长度类似的性质, 我们就能用(6)式定 义上述一般非负简单函数的积分. 然后利用(4)和(5)式定义一般函数的积分. 由于一般简 单函数比阶梯函数更一般, 因此能够被一般简单函数逼近的函数也更多, 因此可以对更