在[0,1上不满足条件(1)因此D(x)在上不是 Riemann可积的 2.积分与极限顺序的交换 在数学分析中,经常会遇到积分运算和极限运算交换顺序的问题.设{J(x)}是 [a,b]上的连续函数列,并且在[a,b]上∫(x)处处收敛于∫(x).一般情况下,f(x)未必 在[a,b]上可积即使f(x)在[a,b]上可积也未必成立 lim[ f(xdr=/(xd 为使∫(x)在[a,b]上可积并且(2)成立的一个充分条件是{n(x)}在[a,b]上一致收敛于 f(x)(这不是必要条件,例如考虑函数[0,1]上的函数列fn(x)=x"(m=1,2,…))这 个条件太强并且不易验证 3.可积函数空间的完备性 设R[a,b]是[a,b]上 Riemann可积函数的全体.在R[a,b]上定义距离 d( 8)=(1(x)-8() dx)2, f,g E R[a, b] 则R[a,b]称为一个距离空间(确切涵义将在泛函分析部分叙述)设{fn}是R[a,b中序 列,∫∈R[a,b若limd(n,∫)=0,则称{fn}按距离收于∫.R[a,b]中序列{fn} 称为是 Cauchy序列,若对任意E>0,存在N>0,使得当m,n>N时,d(fm,fn)<E 有例子表明,在R[a,b中并非每个 Cauchy序列都是收敛的,即R[a,b]不是完备的空间 而空间的完备性在泛函分析理论中是非常重要的.因此R[a,b]不是作为研究对象的理 想空间 以上几点表明, Riemann积分有不少缺陷,这就限制了 Riemann积分的应用,因此有 必要加以改进二十世纪初,法国数学家 Lebesgue(1875-1941)创建了一种新的积分理论, 称之为 Lebesgue积分. Lebesgue积分理论是 Riemann积分理论的推广于发展.并且克服 了 Riemann积分的上述缺陷 下面介绍推广 Riemann积分的大体思路,为节省篇幅,这里没有也不可能很完整和 严密的叙述.设f(x)在[a,b上连续并且f(x)≥0.对[a,b]的一个分划 x0<x1 作阶梯函数∫n(x),使得当x∈(x-1,x;]时,Jn(x)=m;,其中 m2=inf{f(x):x∈[x-1,x,]}.则 f(x)x=∑m(x1-x)=∑m(x-1,x2 在[0, 1]上不满足条件(1). 因此 D(x) 在上不是 Riemann 可积的. 2. 积分与极限顺序的交换 在数学分析中, 经常会遇到积分运算和极限运算交换顺序的问题. 设{ f (x)} n 是 [a, b] 上的连续函数列,并且在[a, b] 上 f (x) n 处处收敛于 f (x). 一般情况下, f (x) 未必 在[a, b] 上可积. 即使 f (x) 在[a, b] 上可积,也未必成立 lim ( ) ( ) . ∫ ∫ = →∞ b a b a n n f x dx f x dx (2) 为使 f (x) 在[a, b] 上可积并且(2)成立的一个充分条件是{ f (x)} n 在[a, b] 上一致收敛于 f (x) (这不是必要条件, 例如考虑函数[0, 1] 上的函数列 n n f (x) = x (n = 1, 2,L)). 这 个条件太强并且不易验证. 3. 可积函数空间的完备性. 设 R[a, b]是[a, b] 上 Riemann 可积函数的全体. 在 R[a, b]上定义距离 1 2 2 ( , ) ( ( ) ( ) ) ∫ = − b a d f g f x g x dx , f , ] g ∈ R[a, b . 则 R[a, b]称为一个距离空间(确切涵义将在泛函分析部分叙述). 设{ }n f 是 R[a, b]中序 列, f ∈ R[a, b]. 若 lim ( , ) = 0, →∞ d f f n n 则称{ }n f 按距离收于 f . R[a, b]中序列{ }n f 称为是 Cauchy 序列, 若对任意ε > 0, 存在 N > 0, 使得当m,n > N 时, ( , ) < ε. m n d f f 有例子表明, 在 R[a, b]中并非每个Cauchy序列都是收敛的, 即 R[a, b]不是完备的空间. 而空间的完备性在泛函分析理论中是非常重要的. 因此 R[a, b]不是作为研究对象的理 想空间. 以上几点表明, Riemann 积分有不少缺陷, 这就限制了 Riemann 积分的应用, 因此有 必要加以改进. 二十世纪初, 法国数学家 Lebesgue(1875-1941)创建了一种新的积分理论, 称之为 Lebesgue 积分. Lebesgue 积分理论是 Riemann 积分理论的推广于发展. 并且克服 了 Riemann 积分的上述缺陷. 下面介绍推广 Riemann 积分的大体思路, 为节省篇幅, 这里没有也不可能很完整和 严密的叙述. 设 f (x) 在[a, b] 上连续并且 f (x) ≥ 0. 对[a, b] 的一个分划 a x x x b = 0 < 1 < L < n = , 作阶梯函数 f (x) n , 使 得 当 ( , ] i 1 i x x x ∈ − 时 , ( ) . n mi f x = 其 中 inf{ ( ) : [ , ]}. i i 1 i m f x x x x = ∈ − 则 ∫ ∑ ∑= − = = − − = n i i i i n i i i i b a n f x dx m x x m x x 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ]