-3 则T=TS是正交矩阵，闪=T=l,且显然有T4T=TAT 若C为正交矩阵则线性替换Y=CX称为正交线性替换用二次型的语言，定理7就可叙述为 定理8任意一个实二次型XAX都可经正交线性替换变成平方和 +方+.+元， 其中，.，入就是A的全部特征值 本节的结果可用于二次曲面方程的化简与二次曲面的分类 在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是 ax+ay+a+2anxy+2a+2a+2bx+2by+2b+d=0 (5) 则(5)即 X4X+2BX+d=0 由本节的结果有行列式为1的正交矩阵C使 200 C'4C=00 0023 令X=CX,则(6)化为 2+元+3+26x+26y+2b:,+d=0 其中（低，6，b)=(,b2,b)C.再按，入是否为零，可把曲面方程化为标准方程，例如 2,元，2≠0时，令 则曲面方程化为 x++号+d=0.1 1 1 3 S   −     =           − 则 T TS 1 = 是正交矩阵， 1T T S = =1, 且显然有 T AT T AT 1 1   = 若 C 为正交矩阵.则线性替换 Y CX = 称为正交线性替换.用二次型的语言，定理 7 就可叙述为 定理 8 任意一个实二次型 X AX 都可经正交线性替换变成平方和 2 2 2 1 1 2 2 n n    y y y + + + 其中 1 2 , , ,   n 就是 A 的全部特征值. 本节的结果可用于二次曲面方程的化简与二次曲面的分类. 在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是 2 2 2 11 22 33 12 13 23 1 2 3 a x a y a z a xy a xz a yz b x b y b z d + + + + + + + + + = 2 2 2 2 2 2 0 （5） 令 11 12 13 1 12 22 23 2 13 23 33 3 , , a a a x b A a a a X y B b a a a z b             = = =                   则（5）即 X AX B X d   + + = 2 0 (6) 由本节的结果.有行列式为 1 的正交矩阵 C 使 1 2 3 0 0 0 0 0 0 C AC         =       令 X CX = 1 ，则（6）化为 2 2 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1    x y z b x b y b z d 2 2 2 0,    + + + + + + = 其 中 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) . b b b b b b C  = 再 按 1 2 3    , , 是否为零，可把曲面方 程化 为 标 准 方 程. 例 如 1 2 3    , , 0  时，令 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 , , , b b b x x y y z z       = − = − = − 则曲面方程化为 2 2 2 1 2 2 2 3 2    x y z d 0.  + + + =